Co to jest wielościan Szilassiego?

Kula jest najbardziej znaną bryłą obrotową, którą można otrzymać w wyniku obrotu koła (rys. 1) - każdy z łatwością wskaże prostą, wokół której należy obrócić koło, aby ją otrzymać. Ale kula to nie jedyna bryła obrotowa, którą można otrzymać, obracając koło. Jeżeli obrócimy je wokół prostej z nim rozłącznej (ale leżącej w zawierającej je płaszczyźnie), otrzymamy torus (rys. 2). Dobrym modelem torusa jest np. dętka rowerowa, obwarzanek lub amerykański pączek doughnut.

Rys. 1                                   Rys. 2

Na torus można również spojrzeć jako na efekt sklejania brzegów prostokąta. Najpierw sklejamy z prostokąta powierzchnię boczną walca, a następnie sklejamy otrzymane na brzegu okręgi. Oczywiście da się to zrobić tylko z prostokątnego kawałka gumy. Z papierowego prostokąta wykonać torusa nie sposób. Z łatwością można jednak podać przykłady wielościanów, które swoim kształtem przypominają torus. Używając zaawansowanej terminologii, powiedzielibyśmy, że są z nim topologicznie równoważne (czyli homeomorficzne). Oczywiście nie może to być żaden wielościan platoński czy archimedesowy, bo one nie mają "dziur". Ale dobrym modelem będzie sześcian z wydrążonym na przestrzał prostopadłościennym "kanałem" (rys. 3).

Rys. 3

Jeszcze bardziej przypominają torus wielościenne "ramki" z rys. 4, 5 i 6.

                Rys. 4                                          Rys. 5                                         Rys. 6

Są to tak zwane wielościany toroidalne, czyli powierzchnie ograniczone wielokątami i posiadające jedną "dziurę". Inny rodzajpowierzchni podobnych do torusa zwanych toroidami opisany jest na Portalu w dziale MAT-ŚWIAT, w artykule Zakręcone graniastosłupy (1) i (2).

Można się domyślać, że im więcej ścian użyjemy do zbudowania podobnych obręczy, tym bardziej będzie się ona upodobniać do prawdziwego torusa. Takie wielościany toroidalne można nawet budować w ten sposób, aby ich wszystkie ściany były wielokątami foremnymi (rys. 7, 8). Istnieją nawet przykłady zbudowane z samych trójkątów równobocznych (najmniejsza ich liczba to 36).

Rys. 7                                                                     Rys. 8

Interesujące jest jednak pytanie, idące niejako w przeciwnym kierunku: ile co najmniej ścian musi mieć wielościan, by był topologicznie równoważny torusowi.

Rysunek 4 przedstawia wielościan o zaledwie 9 ścianach. Czy może być ich mniej? Okazuje się, że tak. W roku 1977 węgierski matematyk Lajos Szilassi [wym. lojosz siloszszi] podał przykład wielościanu równoważnego z torusem, mającego tylko 7 ścian. Wielościan ten (nazywany dziś nazwiskiem jego odkrywcy) przedstawia rys. 9.

Rys. 9

Wszystkie jego ściany są wklęsłymi sześciokątami i każda graniczy z każdą inną (wśród wielościanów wypukłych taką własność ma tylko czworościan).

Wielościan Szilassiego może posłużyć jako ilustracja interesującego problemu kolorowania mapy na powierzchni torusa. W wielościanie tym każda ściana ma wspólną krawędź z inną ścianą. Jeżeli zatem chcemy, by sąsiadujące obszary miały różne kolory, to musimy użyć ich co najmniej 7. Okazuje się też, że 7 kolorów w zupełności wystarczy do pomalowania dowolnej mapy na powierzchni torusa. A ile kolorów potrzeba i wystarcza do pokolorowania dowolnej mapy na płaszczyźnie lub na sferze?

Kliknięcie w rys. 9 otwiera w nowym oknie plik VRML, co pozwala na swobodne obracanie bryły i oglądanie jej z każdej strony. Do przeglądania plików VRML potrzebna jest wtyczka do przeglądarki internetowej - np. Cortona, którą można bezpłatnie pobrać klikając tutaj. Więcej na temat VRML można przeczytać tutaj.

Rysunki 3-8 zostały wyeksportowane z programu Great Stella. Wizerunek wielościanu Szilassiego i plik VRML pochodzą z programu Euler3D.

A oto ciekawy matematyczny żyrandol w kształcie wielościanu Szilassiego wykonany przez Hansa Schepkera z Harrisville w USA. Został on zaprezentowany Szilassiemu w marcu 2006 roku podczas VII bienalle na cześć Martina Gardnera G4G7 (7th Gathering for Gardner) w Atlancie.