Kombinacje, czyli wybieranie całej grupy

Kombinacją nazywamy wybór całej grupy k elementów spośród n elementów, jakie mamy do dyspozycji. Nie jest istotna kolejność elementów, jakie wybraliśmy, i żaden nie może być wybrany dwukrotnie. Tym właśnie kombinacja różni się od wariacji.

Liczbę takich wyborów zapisujemy tzw. symbolem Newtona ${{n}\choose{k}}$ (czytaj: n po k) lub w notacji kalkulatorowej nCk, co pochodzi od angielskiego "n choose k" (czytaj: n czuz k), czyli "z n wybierz k".

Aby obliczyć taką wartość stosujemy wzór: ${{n}\choose{k}}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Wartość ${{n}\choose{k}}$ możemy też odnaleźć w trójkącie Pascala, w n-tym rzędzie na k-tym miejscu (przy czym rzędy i wyrazy w każdym rzędzie numerujemy, zaczynając od 0 nie od 1).

Przykłady

1) Klasa liczy 30 osób. Na ile sposobów można wybrać 3-osobową delegację spośród uczniów tej klasy.

Rozwiązanie. Ważne są dwie rzeczy: 1) nie jest istotna kolejność, w jakiej dokonujemy wyboru uczniów, 2) uczeń może zostać wybrany do delegacji tylko raz. Wobec tego wystarczy zastosować wzór na liczbę możliwych wyborów 3 elementów spośród 30

${{30}\choose{3}}=\frac{30!}{3!(30-3)!} = \frac{27! \cdot 28 \cdot 29 \cdot 30}{3! 27!}=\frac{28 \cdot 29 \cdot 30}{3!}=4060$.

Uwaga. Ten sam wynik można uzyskać, stosując regułę iloczynu. Mianowicie pierwszą osobę można wybrać na 30 sposobów, drugą na 29, a trzecią na 28 sposobów. Ponieważ kolejność wyborów nie ma znaczenia, iloczyn 30×29×28 należy podzielić przez 3! (bo tyle jest możliwych przestawień w obrębie każdej wybranej już trójki uczniów). Rzeczywiście otrzymamy $\frac{30\cdot 29\cdot 28}{6}$= 4060.

2) Na ile sposobów można 20 uczniów podzielić na dwie równoliczne drużyny?

Rozwiązanie. W każdej drużynie ma być 10 osób, przy czym po ustaleniu składu I drużyny, druga powstaje automatycznie. Wystarczy zatem wybrać 10 osób do I drużyny. Oczywiście kolejność wybierania członków drużyny nie ma znaczenia, więc drużynę 10-osobową można utworzyć na

${{20}\choose{10}}=\frac{20!}{10!10!} = \frac{11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15\cdot 16\cdot 17\cdot 18\cdot 19\cdot 20}{10!}$= 184 756 sposobów.

3) Na ile sposobów można podzielić 15 uczniów na 3 drużyny, tak aby w I drużynie było siedmioro uczniów, w II pięcioro, a w III troje?

Rozwiązanie. Po sformowaniu I i II drużyny automatycznie z pozostałych osób utworzymy drużynę III (bo 7+5+3=15). Aby skompletować drużynę I wybieramy 7 spośród 15 uczniów. Można to zrobić na ${{15}\choose{7}}$ sposobów. Aby teraz stworzyć II drużynę, wybieramy 5 spośród 8 niewybranych do tej pory uczniów, co robimy na ${{8}\choose{5}}$ sposobów. Wtedy drużyna III jest już wyznaczona. Ponieważ wyboru I i II drużyny dokonujemy niezależnie (dla każdego wyboru I drużyny możliwe są wszystkie dozwolone wybory do II drużyny), stosujemy regułę iloczynu i ostatecznie podziału na trzy drużyny możemy dokonać na

${{15}\choose{7}}{{8}\choose{5}}= 6 \; 435 \cdot 56$= 360 360 sposobów.

A teraz spróbuj sam

1) Na ile sposobów może wypaść 6 spośród 49 ponumerowanych kul Lotto?
${{49}\choose{6}}=13983816$

2) Na ile sposobów można wybrać delegację klasy liczącej 13 chłopców i 12 dziewcząt, tak aby znalazło się w niej 3 chłopców i 2 dziewczyny?
${{13}\choose{3}}\cdot {{12}\choose{2}}=18876$

3) Na ile sposobów można rozdać 27 kart po równo między 3 osoby?
${{27}\choose{9}}\cdot {{18}\choose{9}}=227873431500$