Wariacje, czyli wybieranie pojedynczych elementów

Wariacja polega na k-krotnym wybieraniu pojedynczych elementów z n elementów, jakie mamy do dyspozycji. Elementy wybierane są po kolei, a nie wszystkie na raz. Tym właśnie wariacja różni się od kombinacji.

Odróżniamy 2 rodzaje kombinacji, w zależności od tego, czy po wybraniu danego elementu może on być wybrany jeszcze raz (nazywamy to losowaniem ze zwracaniem lub wariacją z powtórzeniami), czy też raz wybrany element nie może być wybrany ponownie (losowanie bez zwracania lub wariacja bez powtórzeń).

Wybierane elementy mogą się powtarzać

Wybieramy kolejno k elementów spośród n, które mamy do dyspozycji. Za każdym razem wybrany element wraca do pozostałych i może być wybrany ponownie. Zatem musimy podjąć k decyzji:

• I decyzja - na pierwszym miejscu możemy ustawić dowolny z n elementów,
• II decyzja - na drugim miejscu możemy ustawić znowu dowolny z n elementów,
• itd.
• k-ta decyzja - na ostatnim miejscu możemy ustawić dowolny z n elementów.

Na podstawie reguły iloczynu wszystkich możliwych kolejności ustawień k elementów wybieranych spośród n elementów (jeśli wybierane elementy mogą się powtarzać) jest

$\underbrace{n\cdot n\cdot ...\cdot n}_{k razy} = n^k $.

Przykłady

1) Ile stacjonarnych numerów telefonicznych jest dostępnych we wrocławskiej centrali? Wszystkie numery są dziewięciocyfrowe i zaczynają się numerem kierunkowym 71.

Rozwiązanie. Dwie pierwsze cyfry są już ustalone, pozostały więc do rozważenia wszystkie numery siedmiocyfrowe. Oczywiście cyfry mogą się w nich powtarzać, a kolejność występowania cyfr w numerze też jest istotna. Wybieramy zatem jedną z 10 cyfr na I miejsce, jedną z 10 na II miejsce itd. aż jedną z 10 cyfr wybierzemy na VII miejsce. Wyborów kolejnych cyfr dokonujemy niezależnie, zatem (z reguły iloczynu) wszystkich możliwych numerów jest $\underbrace{10\cdot 10\cdot ...\cdot10}_{7 razy} = 10^7$.

2) Ile jest parzystych liczb pięciocyfrowych?

Rozwiązanie. Aby utworzyć taką liczbę, musimy na każde miejsce wybrać 5 cyfr z dziesięciu, ale w rzędzie dziesiątek tysięcy nie może stać 0 (tę cyfrę wybieramy na 9 sposobów), a ostatnia cyfra musi być parzysta, więc cyfrę jedności wybieramy tylko na 5 sposobów (0, 2, 4, 6, 8). Cyfry wybieramy niezależnie, więc (z reguły iloczynu) parzystych liczb pięciocyfrowych jest 9×10×10×10×5 = 45 000.

Wybierane elementy nie mogą się powtarzać

Wybieramy kolejno k elementów spośród n, które mamy do dyspozycji, ale raz wybrane elementy nie mogą się powtarzać. Zatem musimy podjąć k decyzji:

• I decyzja - na pierwszym miejscu możemy ustawić dowolny z n elementów,
• II decyzja - na drugim miejscu możemy ustawić znowu dowolny z pozostałych n-1 elementów,
• itd. (za każdym razem mamy do dyspozycji o 1 element mniej niż poprzednio)
• k-ta decyzja - na ostatnim miejscu możemy ustawić dowolny z pozostałych n-k+1 elementów.

Na podstawie reguły iloczynu wszystkich możliwych kolejności ustawień k elementów wybieranych spośród n elementów (jeśli wybierane elementy nie mogą się powtarzać) jest

n×(n-1)×(n-2)× ... ×(n-k+1).

Liczbę k-elementowych wariacji zbioru n-elementowego oznaczamy $V^{n}_{k}$ i możemy ją krócej zapisać jako:

$V^{n}_{k}=\frac{n!}{(n-k)!}$

Uwaga. Gdy k=n, czyli wyjmujemy po kolei wszystkie elementy, jakie mamy do dyspozycji, $V^{n}_{k}=n!$ i otrzymujemy permutacje zbioru n-elementowego. 

Przykłady

1) W sali kinowej jest 300 miejsc. Na ile sposobów może zająć miejsca w pustym kinie 7 widzów, jeżeli
a) każdy z nich siada gdzie chce,
b) wszyscy siadają w tym samym rzędzie (jednym z 15 w tym kinie).

Rozwiązanie. a) Pierwsza osoba może zająć dowolne z 300 miejsc, druga - dowolne z pozostałych 299 miejsc itd. Siódma osoba może zająć jedno spośród 294 wolnych jeszcze miejsc. Z reguły iloczynu wynika, że siedem osób może usiąść w 300-miejscowej sali kinowej na 300×299×298×297×296×295×294 = 203 810 340 200 000 000 sposobów.

b) Przede wszystkim trzeba wybrać rząd, w którym usiądą widzowie. Można to zrobić na 15 sposobów. W każdym rzędzie jest 300:15 = 20 miejsc, więc pierwsza osoba może wybrać swój fotel na 20 sposobów, druga - na 19, trzecia - na 18 itd. Siódma osoba może wybrać swoje miejsce w rzędzie na 14 sposobów. Zatem siedmioro widzów może zająć miejsca w jednym rzędzie na 15×20×19×18×17×16×15×14 = 5 860 512 000 sposobów. 

2) Ile dzielników ma liczba 21 600?

Rozwiązanie. Rozłóżmy daną liczbę na czynniki pierwsze: 21 600 = $2^5 \cdot 5^2 \cdot 3^3$. Jeżeli d jest dzielnikiem liczby 21 600, to w jego rozkładzie na czynniki pierwsze mogą występować tylko liczby 2, 3 i 5, przy czym czynnik 2 może wystąpić 0, 1, 2, 3, 4 albo 5 razy (to daje 6 możliwości), czynnik 3 może wystąpić 0, 1, 2 albo 3 razy (to daje 4 możliwości), zaś czynnik 5 może wystąpić 0, 1 albo 2 razy (to daje 3 możliwości). Zatem liczba 21 600 ma 6×4×3 = 72 różne dzielniki.

A teraz spróbuj sam

1) a)Ile jest wszystkich liczb sześciocyfrowych? b) Ile jest liczb sześciocyfrowych o różnych cyfrach? c) Ile liczb sześciocyfrowych jest palindromami (tzn. czyta się je tak samo w przód i wspak)?

2) Na ile sposobów można 10 różnych przedmiotów podzielić między 3 osoby? Podziały mogą być niesprawiedliwe, tzn. jedna osoba może dostać wszystko, może też być tak, że nikt nic nie dostanie.

3) a) Ile dzielników ma liczba $3^7 \cdot 7^3 \cdot 11^{11}$? b) A ile liczba 5 bilionów?