Gry losowe

Nieraz zdarza się, że musimy podjąć jakąś decyzję "w ciemno". Praktycznie każdy, kto osiągnął w życiu znaczny sukces, musiał w pewnym momencie podjąć ryzyko (np. Bill Gates, aby założyć firmę Microsoft, przerwał studia). Nie każdemu jednak się to udaje. Ale szczęściu można pomagać! Ważne decyzje dotyczące przyszłości można podejmować, używając do tego metod matematyki. Dobrym modelem matematycznym związanym z ryzykiem są gry losowe. Zanim zaczniemy jednak analizować niektóre z nich, przypomnijmy sobie podstawy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki.

W każdy wtorek, czwartek i sobotę tysiące ludzi w Polsce z wielką nadzieją w sercu oglądają losowanie Dużego Lotka: 49 kul, każda z inną liczbą od 1 do 49, wsypywanych jest do zbiornika, skąd następnie losowanych jest 6 z nich. I wtedy okazuje się, że wybrańcy fortuny mogą nie pracować już do końca życia, a rzesze zawiedzionych muszą kolejnego ranka znowu pomaszerować do pracy. A co na ten temat mówi rachunek prawdopodobieństwa?

Ponieważ gra jest oficjalnie autoryzowana przez państwo, wszelkie próby oszustwa są nielegalne, zatem możemy założyć, że każdy wynik losowania jest tak samo prawdopodobny. Oznaczmy przez Ω [czytaj: omega] zbiór wszystkich możliwych wyników losowania. Ile ich jest? Matematyk zapytałby: jaka jest moc zbioru Ω?

Pierwsza liczba jest jedną z 49, druga – jedną z 48 (bo jedną już wylosowano), trzecia – jedną z 47 itd. Stosując regułę iloczynu, otrzymujemy 49∙48∙47∙46∙45∙44 = 10 068 347 520 różnych możliwych wyników losowania. Jednak układy (1, 2, 3, 4, 5, 6) i (6, 5, 4, 3, 2, 1) są w rzeczywistości tym samym wynikiem, bo przecież nikt nie sprawdza, w jakiej kolejności skreślaliśmy numery na kuponie, a tylko to, czy zgadzają się z wylosowanym układem. Zatem powyższy wynik musimy podzielić przez liczbę wszystkich możliwych przestawień liczb w jednym układzie (tzw. permutacji). Jest ich 6!=720. Ostateczny wynik to

|Ω| = [tex]\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot6}=\frac{49!}{43!\cdot 6!}={{49}\choose{6}}[/tex]= 13 983 816.
Symbol w nawiasie czytamy jako "czterdzieści dziewięć po sześć". Jest to tzw. symbol Newtona, który określa liczbę tzw. kombinacji, czyli mówi na ile sposobów można wybrać 6 liczb z 49.

Jak w takim razie obliczyć prawdopodobieństwo wygranej w Dużym Lotku? Oznaczmy przez A zbiór wszystkich układów dających nam wygraną. Załóżmy, że kupiliśmy tylko jeden los. Zatem zbiór A zawiera jedynie jeden element - wybrany przez nas układ. Piszemy: |A|=1.
Prawdopodobieństwo zdarzenia A definiuje się jako stosunek liczby wyników sprzyjających wygranej do liczby wszystkich możliwych wyników. Zatem prawdopodobieństwo wygrania w Dużym Lotku wynosi

P(A) = [tex]\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{1}{13983816}[/tex]≈ 0,000000072.

Statystycznie wygrywa więc jeden los na każde 14 milionów. Jeśli zakład kosztuje 3 zł, aby ktoś wygrał, do kasy Totalizatora Sportowego powinno wpłynąć około 42 mln zł. Tymczasem standardowa wysokość wygranej to "zaledwie" ok. 2 mln zł. Widać więc, że Duży Lotek to dobry sposób na zarabianie pieniędzy, ale pod warunkiem, że to my go organizujemy.

Można oczywiście zwiększyć szanse swojej wygranej, kupując więcej losów. Aby ocenić szanse wygranej, przyda się jeszcze jedno pojęcie probabilistyczne - wartości oczekiwanej (nazywanej też współczynnikiem gry i oznaczanej literą E). Jest to średnia wartość zysku (lub straty) przypadająca na pojedynczą próbę losową. W przypadku Dużego Lotka tracimy 40 mln zł co 14 milionów losów, zatem współczynnik gry wynosi

E(duży lotek) = -[tex]\frac{40}{14}[/tex]≈ -2,86.

Gdy współczynnik gry jest dla gracza ujemny, gra jest dla niego niekorzystna, gdy jest dodatni - korzystna, a gdy jest równy zero - mamy do czynienia z tzw. grą sprawiedliwą. 

Rozważmy teraz klasyczną kostkę do gry. Jest to idealny sześcian ze ścianami ponumerowanymi w taki sposób, że suma oczek na przeciwległych ścianach wynosi 7 (zauważ, że daje to dwie możliwości rozmieszczenia oczek na kostce).

W przypadku totolotka zakładaliśmy, że każdy wynik losowania ma jednakowe prawdopodobieństwo. W przypadku kostki nie zawsze możemy mieć taką pewność. Po pierwsze dlatego, że idealny sześcian nie istnieje w realnym świecie, po drugie - kostki do popularnych gier rzadko posiadają certyfikaty sprawdzenia ich symetrii i pełnej losowości wskazywanych wyników, a po trzecie, wynik losowania może zależeć od zastosowanej techniki rzutu. Może być jeszcze "po czwarte" - być może na wynik rzutu ma wpływ wrodzone szczęście lub pech rzucającego? Kto wie... Jak zatem wyliczyć prawdopodobieństwo wypadnięcia szóstki na kostce? Nawet na idealnie symetrycznej kostce?

Ponieważ nie wiemy, czy wypadnięcie każdej ze ścian jest jednakowo prawdopodobne, nie możemy postąpić tak, jak poprzednio, tzn. przyjąć, że Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}, |Ω|=6, A={6}, |A|=1, zatem P(A) = [tex]\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{1}{6}[/tex]. Takiego modelu nie można przyjmować, gdy wyniki nie są jednakowo prawdopodobne. Równie dobrze moglibyśmy bowiem myśleć, że zbiór Ω ma dwa elementy - albo wypadnie szóstka, albo coś innego niż szóstka, zatem prawdopodobieństwo wypadnięcia szóstki wynosi 1/2. Jak zatem powinniśmy postąpić w przypadku rzutu kostką do gry?

Pomijając aspekty parapsychologiczne, za Ω musimy zatem przyjąć znacznie większy zbiór: zbiór wszystkich rzutów możliwych do wykonania konkretną kostką do gry zgodnych z zasadami fizyki. Zauważmy, że mowa tu nie o wynikach rzutów, ale o rzutach samych w sobie traktowanych jako obiekty matematyczne. Następnie konstruujemy funkcję, która każdemu rzutowi ze zbioru Ω przypisuje liczbę ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6}, będącą liczbą oczek znajdujących się na górnej ściance kostki w momencie gdy przestała się ona poruszać. Funkcję taką nazywamy funkcją mierzalną lub zmienną losową. Dzięki niej zbiór Ω możemy zatem podzielić na 6 rozłącznych klas, każda z nich zawiera rzuty dające na górnej ściance w momencie zatrzymania się kostki tę samą liczbę. Oczywiście wszystkich dopuszczalnych przez fizykę rzutów jest na ogół nieskończenie wiele, nieskończenie wiele elementów będzie również w każdej z wyodrębnionych klas zbioru Ω. Tym bardziej nie można obliczyć teraz prawdopodobieństwa wyrzucenia szóstki na bazie klasycznej definicji, bo jak mamy podzielić wielkości nieskończone? Co zatem robić?

Możemy skorzystać z pojęcia równoliczności zbiorów. Dwa zbiory są równoliczne (maja tyle samo elementów) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje odwzorowanie różnowartościowe, które przekształca jeden zbiór na drugi (czyli jest to odwzorowanie "1-1" i "na", które nazywamy też bijekcją). Weźmy zatem dowolny element ze zbioru rzutów dający szóstkę. Jeżeli obrócimy kostkę w taki sposób, aby w miejscu szóstki znalazła się na przykład czwórka, i rzucimy kostką w dokładnie ten sam sposób, to wynikiem rzutu będzie 4. Obrót ten jest właśnie ową bijekcją przekształcającą zbiór rzutów kończących się szóstką na zbiór rzutów kończących się czwórką. Podobne bijekcje można znaleźć dla pozostałych wyników. Oznacza to, że wszystkie 6 podzbiorów Ω jest równolicznych, a zatem wypadnięcie każdej liczby na kostce jest tak samo prawdopodobne. A gdzie tkwi haczyk?

Z fizycznego punktu widzenia do opisu ruchu kostki potrzeba aż 12 parametrów: 3 z nich opisują początkowe położenie środka kostki, kolejne 3 opisują kąty ułożenia poszczególnych ścian, dalsze 3 opisują wektor prędkości początkowej środka ciężkości, a  ostatnie 3 - początkowe wirowanie kostki wokół osi przechodzącej przez jej środek masy. Szukanie bijekcji ma sens tylko wtedy, jeśli środek ciężkości kostki znajduje się dokładnie w środku geometrycznym sześcianu, czyli gdy kostka jest idealnie symetryczna, a jej masa rozłożona jest równomiernie w całej objętości). W innym wypadku rozważana zamiana "6" na "4" zmienia także położenie środka ciężkości, zatem zmienia całkowicie rozkład prędkości kostki, a co za tym idzie, w wyniku takiego obrotu dalej możemy uzyskać "6". Jak zatem znaleźć szukane prawdopodobieństwo wypadnięcia szóstki nie dla kostki idealnej, ale realnej?

Możemy albo dalej brnąć w twierdzenia i teorie, albo uciec się do... probabilistycznej definicji prawdopodobieństwa. Brzmi to trochę jak masło maślane (probability to po angielsku prawdopodobieństwo), ale ma jednak głębszy sens. Definicja probabilistyczna (czasem nazywana częstościową, empiryczną lub statystyczną) różni się tym od klasycznej, że daje wynik jedynie przybliżony, a metodą wyznaczania tego wyniku jest eksperyment. Konkretnie jeśli na 100 rzutów kostką szóstka wypadnie 10 razy, to przybliżone prawdopodobieństwo uzyskania "6" na tej kostce wynosi ¹⁰/₁₀₀ = 0,1. Proste? Wcale nie, bo pewnie od razu zaprotestujecie, że przecież mogło się tak zdarzyć "przez przypadek" i że w następnych 100 rzutach szóstka wypadnie 80 razy, a wtedy to samo prawdopodobieństwo wyniesie ⁸⁰/₁₀₀ = 0,8.

Zgoda, ale jeśli policzymy łącznie obie te serie rzutów, to prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki wyniesie ⁹⁰/₂₀₀ = 0,45. Ogólnie, im więcej wykonamy prób, tym dokładniejszy (bardziej zgodny z rzeczywistością) wynik otrzymamy. Dlatego za definicję prawdopodobieństwa zdarzenia A przyjmujemy

P(A) = [tex]\lim_{n\to\infty}\frac{liczba\:zajsc\:zdarzenia\:A\:w\:n\:powtorzeniach\:doswiadczenia}{n}[/tex].

Powyższa metoda, choć pracochłonna, w wielu wypadkach pozwala znacznie szybciej wyznaczyć prawdopodobieństwo niż metody teoretyczne, zwłaszcza w dobie błyskawicznych komputerów, którym zasymulowanie miliona rzutów kostką i podliczenie uzyskanych wyników zajmuje ułamki sekundy.

Poniżej zebraliśmy kilka znanych własności prawdopodobieństwa, które będą wykorzystywane w dalszej części artykułu.

• Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do A wynosi 1- P(A), czyli na przykład szansa wyrzucenia czegoś innego niż "6" na kostce do gry wynosi 1-¹/₆ = ⁵/₆.
• Jeśli zdarzenia A i B są niezależne (tzn. zajście lub nie zajście jednego z nich nie ma żadnego wpływu na zajście drugiego z nich), to prawdopodobieństwo, że zdarzenia te zajdą równocześnie wynosi
  [tex]P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)[/tex], czyli na przykład szansa, że w dwóch rzutach kostką uzyskamy dwie szóstki wynosi ¹/₆·¹/₆ = ¹/₃₆ (bo przecież wynik jednego rzutu kostką nie wpływa na wynik drugiego rzutu).

Ćwiczenie. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w 3 rzutach kostką do gry wypadnie co najmniej jedna szóstka.

Odp. Jest to zdarzenie przeciwne do tego, że w 3 rzutach nie wypadnie ani jedna szóstka, czyli P(co najmniej jedna 6 wypadnie w 3 rzutach) = 1 - P(w 3 rzutach nie wypadnie żadna 6) = 1 - [P(w jednym rzucie nie wypadnie 6)]³ = 1 - (⁵/₆)³ ≈ 0,42.

Po tym teoretycznym wstępie z podstaw rachunku prawdopodobieństwa możemy przejść wreszcie do gier losowych.

Wielu z nas pamięta z dzieciństwa tę grę o prostych zasadach, budzącą jednak spore emocje. Ponieważ istnieją różne odmiany chińczyka, ustalmy na początek zasady gry.

• W grze bierze udział od dwóch do 4 graczy.
• Każdy gracz posiada 4 pionki w swoim kolorze.
• Plansza do gry tworzy linię, która liczy 40 pól. Co dziesiąte pole jest polem startowym dla kolejnego gracza.
• Do gry potrzebna jest jeszcze sprawiedliwa kostka, którą gracze rzucają po kolei.
• Na początku gry wszystkie pionki znajdują się w bazie. Gracz może przenieść pionek na własne pole startowe po wyrzuceniu w swojej kolejce szóstki.
• Ruch polega na rzucie kostką, a następnie na przemieszczeniu jednego ze swoich pionów na planszy do przodu o uzyskaną liczbę oczek.
• Gracz, który w trakcie rozgrywki wyrzuci szóstkę, otrzymuje dodatkowy ruch.
• Po obejściu planszy pionek wchodzi do przypadającego mu domku. Odtąd może się poruszać do przodu tylko w obrębie wolnych pól w domku. Gdy takich pól przed nim nie ma, kończy grę.
• Pionków znajdujących się w domku nie można przeskakiwać.
•  Gra kończy się, gdy wszystkie piony będą ustawione w domku na kolejnych polach.
• Jeżeli podczas rozgrywki wszystkie pionki danego gracza znikną z planszy (tzn. znajdą się ponownie w bazie lub będą w domku), otrzymuje on 3 dodatkowe ruchy. Jeżeli w którymś wypadnie szóstka (co umożliwi mu wyjście na planszę), pozostałe próby przepadają.
• Na jednym polu może stać tylko jeden pionek.
• Jeżeli pionek gracza przemieści się na pole zajęte przez przeciwnika, pionek przeciwny jest zbijany i wraca do bazy. Bicie pionów nie jest obowiązkowe.
• Jeżeli gracz posiada możliwość wykonania ruchu, musi go wykonać. Jeżeli wynik rzutu takiej możliwości mu nie daje, traci kolejkę, chyba że wypadła szóstka, która gwarantuje dodatkowy rzut.

Zobaczmy na przykładach, jak przebiega rozgrywka.

Przykład 1

rys. 1

Gramy pionami niebieskimi. W sytuacji przedstawionej na rysunku mamy 2 pionki w domku, a kolejne 2 są już bardzo blisko celu (strzałka wskazuje kierunek poruszania się pionków). Przeciwnikowi pozostał jeszcze 1 pion na polu startowym. Teraz wypada nasz ruch, a na kostce wypadła jedynka. Którym pionem powinniśmy wykonać ruch?

Zwykle w takich momentach gracz z dumą zbija pionek przeciwnika z planszy, ale my zastanowimy się wcześniej, czy ten ruch będzie dla nas najkorzystniejszy. Nasze dwa piony są już bardzo blisko domku i nie chcemy ryzykować, że zostaną zbite. Tymczasem pion przeciwnika dopiero wszedł na planszę i czeka go długa droga do domku. W przypadku zbicia, przeciwnik będzie miał w swojej kolejce aż 3 rzuty, a prawdopodobieństwo, że wyrzuci w jednym z nich szóstkę, czyli zbije nasz finiszujący pionek wynosi:

P(zbicia) = [tex]1-(\frac{5}{6})^3=1-\frac{125}{216}=\frac{3}{8}[/tex].

Widzimy, że szansa na zbicie naszego piona w rewanżu za zbity pion przeciwnika nie jest zbyt duża.

Obliczmy jeszcze, ile średnio zdobędziemy oczek przewagi nad przeciwnikiem, dokonując zbicia jego pionka. W 5 przypadkach na 8 w kolejnym ruchu będziemy o 1 oczko do przodu, a przeciwnik o 6 do tyłu. W pozostałych 3 przypadkach przeciwnik zbije nasz pion, któremu dojście na obecne pole zajmie 36 oczek, i jeszcze ruszy do przodu z powodu wyrzuconej 6. Zatem w 5 przypadkach będziemy o 7 oczek do przodu, a w 3 przypadkach co najmniej 37 oczek do tyłu. Wartość oczekiwana naszej przewagi po zbiciu przeciwnika nie przekracza więc

E ≤[tex]\frac{5\cdot7-3\cdot37}{8}[/tex]=-9,5.

Zatem widać wyraźnie, że zbicie piona przeciwnika jest dla nas całkowicie niekorzystne.

W powyższych obliczeniach nie uwzględniliśmy kolejnych wykonywanych ruchów, ale takie rachunki byłyby już bardzo skomplikowane i niemożliwe do szybkiego przeprowadzenia w trakcie rozgrywki.

Aby wyznaczyć dokładne prawdopodobieństwo wygranej w przypadku obu możliwych ruchów, należałoby wykorzystać symulator gry w chińczyka i bazować na probabilistycznej definicji prawdopodobieństwa. Po przeprowadzeniu takiego doświadczenia okazuje się, że w przypadku gdy nie dokonamy bicia, szansa naszego wygrania wynosi około 47%. Zbicie piona zmniejsza to prawdopodobieństwo aż do 35%, czyli zgodnie z naszym teoretycznym przypuszczeniem, jest to wariant dla nas niekorzystny.

Przykład 2

rys. 2

Tym razem mamy trzy pionki w domku i jeden u samego progu. Po piętach depcze nam ostatni pionek przeciwnika. Wypada nasz ruch, a na kostce wypada jedynka. Musimy wykonać ruch albo przesuwając pion na planszy o jedno pole, albo o jedno pole przesuwając ostatni pion w domku. Który ruch nam się bardziej opłaca?

Typowa reakcja gracza w takim momencie to ruch pionem z planszy, aby uciec nim przed zbiciem. Na pozór jest to logiczne, bo zmniejszamy szansę zbicia z 1/6 (gdy zostaniemy, a przeciwnik wyrzuci szóstkę) do 1/36 (gdy ruszymy pion, a przeciwnik wyrzuci kolejno 6 i 1). Ale czy to naprawdę dobra decyzja? Gdzie jest haczyk?

Popatrzmy trochę dalej. Nasz pion nie będzie mógł wejść do domku dopóki nie przesunie się blokujący go ostatni pionek w domku (pamiętajmy, że pionów w domku nie można przeskakiwać). Zatem jeśli uciekniemy pionkiem na planszy, mamy aż ⁴/₅ szansy na to, że w następnym ruchu nie uda nam się pionkiem ruszyć (pamiętajmy, ze po szóstce mamy dodatkowy ruch). Tymczasem pion przeciwnika podejdzie na tyle blisko, że spokojnie będzie mógł nas zbić. Może to zrobić w 2 ruchach, może w 3, istnieje nawet (dość małe prawdopodobieństwo, ale jednak), że zbije nas w 7 ruchach (gdy wyrzuci w nich same jedynki). My zaś będziemy oczekiwali na wyrzucenie jedynki, aby odblokować sobie możliwość wykonania ruchu. Nawet bez obliczeń dochodzimy do wniosku, że prawidłowym ruchem w tej sytuacji będzie ruch pionkiem znajdującym się w domku. Ma on nieznaczny wpływ na prawdopodobieństwo zbicia naszego pionu, ale w kolosalny sposób zwiększa prawdopodobieństwo szybkiego wejścia ostatnim pionem do domku.

A co na to symulator? Przy próbie ucieczki pionkiem zewnętrznym daje nam jedynie 49,6% szans na wygranie partii, w drugim przypadku wynosi ona 74,2%. Jest różnica!

O czym należy zatem pamiętać, grając w chińczyka?

• Gra losowa nie musi być sprawiedliwa. Już na wstępie osoba zaczynająca rozgrywkę ma trochę większą szansę na zwycięstwo (wg symulatora ok. 50,3%).
• Nasze decyzje mają tym większy wpływ na wynik, im w późniejszej fazie rozgrywki są podejmowane (gdyby w przykładzie 2, każdy gracz miał o jeden pionek mniej w domku, różnica szans na wygraną w zależności od wybranego ruchu wynosiłaby mniej niż 0,5%).
• Z pomocą matematyki i prostych rachunków możemy wygrywać częściej od innych.

Okazuje się, że znajomość rachunku prawdopodobieństwa może przynieść całkiem "wymierne" korzyści. Czy pamiętacie teleturniej "Zonk!"? W finale zawodnik wybierał jedną z trzech bramek. Dwie z nich były puste (a raczej znajdował się za nimi Zonk - sympatyczny kot w worku), za trzecią zaś krył się samochód. Kiedy uczestnik gry wybrał bramkę, prowadzący odsłaniał jedną z pozostałych dwóch, rzecz jasna tą  pustą, i pytał, czy zawodnik chce zamienić swój wybór. Co było w tym momencie bardziej opłacalne? Pozostać przy wyjściowym wyborze, czy go zmienić?

Typową reakcją gracza było wahanie. Wcześniejszy wybór dawał ¹/₃ szans na wygraną, ale w obecnej sytuacji każda decyzja daje 50% szans na zwycięstwo). Czy na pewno? Przeanalizujmy dokładniej tę sytuację.

Oczywiście prawdopodobieństwo wygrania samochodu w pierwszym wyborze wynosi ¹/₃, zatem prawdopodobieństwo trafienia Zonka to ²/₃. Prowadzący zawsze odsłania pustą bramkę, to znaczy, że w przypadku, gdy na początku obstawiliśmy źle, może odsłonić tylko jedną, a nagroda znajduje się w bramce, której nie wybraliśmy. W tym wypadku zmiana decyzji gwarantuje wygraną, co ma miejsce aż w ²/₃ przypadków. Jeżeli decyzji nie zmienimy, wygramy tylko wtedy, jeśli na początku wytypowaliśmy właściwa bramkę, a to ma miejsce w ¹/₃ przypadków. Zatem zmieniając bramkę, zwiększamy nasze szanse na wygraną dwukrotnie!

Na koniec wspomnijmy jeszcze o kilku grach, uznawanych (czasem niesłusznie) za hazardowe. Znajomość rachunku prawdopodobieństwa niejednemu pozwoliła zarobić na nich "kilka groszy". Zacznijmy od prostego zakładu.

Obstawiasz zakład i rzucasz kostką. Jeśli wypadnie szóstka, dostaniesz 5 razy więcej, niż postawiłeś. W przeciwnym razie tracisz postawione pieniądze. Reakcje graczy na taką propozycję można podzielić na 3 rodzaje: hazardziści - zgadzają się, gdy tylko usłyszą, że mają szansę sporo wygrać, przeciwnicy hazardu - odmawiają, bo hazard to zło i gracz zawsze na tym traci, matematycy - analizują sytuację i co?

Łatwo sprawdzić, że jeśli gramy sprawiedliwą kostką, współczynnik gry wynosi 0. A skoro ktoś nam taką grę proponuje, to albo jest uczciwy i nie chce na tym nic zarobić (mało prawdopodobne), albo kostka nie jest sprawiedliwa. Wtedy albo negocjujemy (np. "wolałbym dostawać 3 razy tyle, ile postawiłem, jeśli wypadnie piątka lub szóstka, ale rzucam moją kostką”) albo rezygnujemy, bo ze współczynnikiem 0 gra jest jałowa i na dłuższą metę żadnych zysków nam nie przyniesie. Załóżmy, że przeciwnik przyjął naszą propozycję. Czy była dla niego korzystna, czy dał się nabrać? Ile wynosi współczynnik zaproponowanej gry?

Niech Z oznacza wysokość zakładu. Mamy E = Z[tex](\frac{1}{3}\cdot 3-\frac{2}{3}\cdot 1)=\frac{Z}{3}[/tex].

Tyle średnio będziemy zarabiać na jednym rzucie kostką. Oczywiście średnio dwie na trzy gry będziemy przegrywać (co stanowi zachętę dla naszego przeciwnika), ale nasz ostateczny zysk wynika z tego, że w tej jednej grze wygramy więcej, niż stracimy w pozostałych dwóch.

Musimy pamiętać, że w grach losowych prawidłowa strategia nie oznacza, że będziemy wygrywać zawsze, ale że w dużej liczbie gier końcowy bilans będzie dla nas korzystny. Nie możemy zatem postawić wszystkiego co mamy na jeden rzut, zależy nam na jak największej liczbie rzutów. 
Zatem mając do dyspozycji np. 30 zł nie ryzykujemy wszystkiego, ale obstawiajmy po złotówce. Zapewni nam to nieomal nieskończoną liczbę rzutów (prawdopodobieństwo przegrania całej kwoty jest znikomo niskie), a co za tym idzie – wysoki zysk. Gdy już trochę zarobimy (n.p. będziemy mieć 100 zł), możemy obstawiać więcej. Jest to optymalny sposób gry w takich sytuacjach. Ale oczywiście żaden rozsądny przeciwnik nie przyjąłby naszej propozycji.

Skoro hazard jest tak dalece przewidywalny, dlaczego kasyna nie plajtują? Dlaczego jest przeciwnie - stają się dochodowym i lukratywnym interesem? Czy jest to tylko żerowanie na ludzkiej naiwności (odkryłem niesamowity sposób, jak zarabiać na grze w ruletkę) i uzależnieniu od hazardu?

Zacznijmy od przypomnienia zasad gry w ruletkę. Gra z grubsza polega na obstawianiu. A jest co obstawiać. Tarcza ruletki zawiera pola od 0 do 36 na przemian w kolorze czarnym i czerwonym. Na stole niezerowe liczby z tarczy ułożone są w prostokąt mający 12 wierszy i 3 kolumny. Obstawiać można:

• konkretną liczbę (w wypadku trafienia dostajemy 36-krotność zakładu),
• dwie sąsiadujące liczby (18-krotność zakładu),
• cztery liczby ze wspólnym rogiem (9-krotność),
• wiersz (12-krotność),
• kolumnę (trzykrotność),
• tuzin (trzykrotność),
• parzystość wyniku (dwukrotność),
• kolor wyniku (dwukrotność),
• wysokie/niskie (dwukrotność)
• i wiele innych możliwości.

Wszystkie te zakłady mają jedną cechę wspólną – ujemny współczynnik gry. A zawdzięczamy to liczbie 0 na tarczy, która powoduje, że szanse trafienia n.p. koloru są mniejsze od ½. Zatem każdy zakład jest stratny, a na grze na dłuższą metę zarabia tylko kasyno.

Zdarzają się jednak nieuczciwi pośrednicy, zarabiający kosztem innych graczy. Zawierają umowy z kasynem i promują tzw. piramidkę. Jest to "system wygrywający" polegający na obstawianiu jednego koloru aż do jego wypadnięcia; w wypadku przegranej stawiamy dwa razy więcej niż poprzednio (na pierwszy rzut oka wygląda to sensownie, ale wystarczy obliczyć wartość oczekiwaną wygranej). Od każdego wciągniętego do systemu amatora szybkich i zdobytych bez wysiłku dużych pieniędzy pośrednik otrzymuje np. 20% kwoty, którą tamten przegra.

Istnieją jednak dwie gry, w których rachunek prawdopodobieństwa daje graczowi przewagę nad kasynem (nie należy jej jednak mylić z możliwością zdobycia łatwych pieniędzmi). To blackjack, gdzie do
wygrywania konieczna jest umiejętność liczenia kart, oraz popularny
i jednocześnie mało znany poker.

Jest chyba najbardziej znaną grą karcianą na świecie. Zanim opiszę w skrócie na czym polega prawidłowa gra, odniosę się tutaj to mojego wcześniejszego stwierdzenia: „wszystko dokoła nastawione jest na zysk”. Skoro tak, tokasyno nie prowadziłoby gry, która jest dla niego nie opłacalna. I tak jest w rzeczywistości: w pokerze naszym celem nie jest oskubać kasyno. Celem są inni zawodnicy. Krótko o przebiegu gry (odmiana Texas Holdem):
1. W grze bierze udział od 2 do 10 graczy, jeden z graczy jest dealerem.
2. Najpierw gracz z lewej strony dealera stawia zakład (mały ciemny/small blind/SB), a kolejny stawia duży ciemny (big blind/BB).
3. Następnie każdy z graczy dostaje po 2 karty.
4. Rozpoczyna się pierwsza runda licytacji. Licytację rozpoczyna gracz po lewej stronie small blinda.
5. Licytacja przebiega w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek. Gracz ma zawsze 3 opcje. Dorównać zakład, podbić lub spasować.
6. Dorównanie (call) polega na dołożeniu do puli takiej liczby żetonów jaką włożył poprzedni gracz.
7. Przebicie(raise) polega na włożeniu do puli większej liczby żetonów niż poprzednik.
8. Spasowanie(fold) rezygnacja z dalszej gry.
9. Licytacja kończy się w momencie, gdy każdy z graczy włoży do puli jednakową liczbę żetonów lub spasuje.
10. Po zakończeniu licytacji, następuje odsłoniecie 3 kart wspólnych (tzw. flop), po którym to następuje druga runda licytacji.Tę i następną rundę rozpoczyna gracz, który wpłacił SB.
11. Następnie na stole odsłania się czwartą kartę (turn). Następuje 3 runda licytacji.
12. Odsłanięcie 5 karty (river)+ licytacja.
13. Gracze pozostali w rozdaniu pokazują swoje dwie karty. Całą zebraną pulę wygrywa gracz, który za pomocą swoich kart i 5 leżących na stole jest w stanie zbudować najwyższy pięciokartowy układ.
14. Układy pokerowe(od najsłabszego): wysoka karta, para (dwie takie same figury), dwie pary, trójka(np. trzy asy), strit (5 kolejnych kart, as liczony jako 1 i jako wyższa od króla), kolor (5 kart w tym samym kolorze (pik,kier, karo,trefl)),full (trójka+para),kareta(4 takie same karty),poker(strit w kolorze),poker królewski(poker do asa).

W powyższej grze niemożliwe jest ogranie kasyna, bo kasyno nie bierze udziłu w grze. Zamiast tego, ża prowadzenie gry zabiera sobię pewną część puli (zwykle 4-7% puli). Jest to tak zwany rake i sprawia, że kasyno zarabia na 100%. Jak zatem grać, żeby coś zarobić? Nie jest to proste: musimy dokładnie analizować sposób gry naszych przeciwników i na podstawie własnych obserwacji, kard na stole i tych trzymanych w ręce podejmować decyzje maksymalizujące wspólczynnik gry.
Dobry pokerzysta pasuje zwykle w pierwszej rundzie licytacji (w pre-flopie). Dlaczego? Liczba rozdań w pokera liczy się już w miliardach, zatem z powodzeniem możemy stosować wartości statystyczne. I okazuje się, że większość kard już na samym początku ma wartość oczekiwaną ujemną, a co za tym idzie, przynoszą straty. Gra na tym etapie gry z reguły odróżnia hazardzistę od pokerzysty: pierwszy liczy na szczęście i gra ze wszystkim, drugi gra z tym z czym jest to opłacalne.
Najważniejszym momentem gry jest flop, który może drastycznie zmienić siłę ręki. Tu zasada mogła by być dość prosta: nic nie trafimy – pasujemy, trafimy – obstawiamy. Jednak zwykle stajemy w sytuacji, że musimy podjąć decyzję, czy warto grać dalej. Przykład: Mamy na ręce króla i damę pik. Na stole pojawia się jopek i 9 pik oraz 3 trefl. Gracz przed nami postawił 5 dolarów, pozostali spasowali. W puli znajduje się 15 dolarów. Co robimy? Jeżeli gracz jest solidny(to wiemy z obserwacji), możemy założyć, żę ma parę. Na stole pojawią się jeszcze 2 karty. Jeżeli pojawi się król lub dama, będziemy mieli wyższą od jego parę, jeśli pojawi się 10, będziemy mieć strita, jeśli pojawi się pik – mamy kolor. Jakie jest zatem prawdopodobieństwo, że to się uda? Szybkie obliczenia pamięciowe w pokerze to podstawa! Szansa na skompletowanie wygrywającego układu wynosi 57%. Zatem prawdiłową linią gry, jest zmaksymalizowanie puli (raise). Co gdybyśmy na ręce mieli damę i króla, ale kier? Wtedy prawdopodobieństwo trafienia układu wynosi tylko 38,4%. Zatem wartość oczekiwana dla sprawdzenia wynosi: