Matematyk w trafice, czyli modele szkieletowe

Trafika (czyli sklep z artykułami tytoniowymi) raczej nie kojarzy się z miejscem zakupu pomocy dydaktycznych wspomagających nauczanie matematyki. Jednak stałych czytelników Portalu nie powinien zdziwić fakt, że dostrzegamy możliwość matematycznego wykorzystania pewnych
dostępnych tam artykułów. Chodzi mianowicie o wyciory do czyszczenia
fajek. Są to dość giętkie druciki pokryte miłym w dotyku meszkiem (zdjęcie 1). Z reguły mają one długość ok. 15 cm i doskonale nadają się do wykonywania szkieletowych modeli wielościanów i innych obiektów matematycznych.

   fot. 1

Z wyciorami trzeba obchodzić się dość ostrożnie, gdyż mają ostre końcówki, którymi łatwo się pokłuć. Jednak przy odrobinie uwagi i zdrowego rozsądku nie stanowią one zagrożenia nawet dla młodszych uczniów. Opakowanie zawierające 100 sztuk wyciorów kosztuje (w zależności od sklepu, producenta i jakości) ok. 5-10 zł. Bardzo podobne materiały pod nazwą „druciki kreatywne” można dostać też w sklepach z zabawkami lub z artykułami dla artystów. Są wtedy trochę dłuższe, staranniej wykonane i dostępne w większej gamie kolorów, ale na ogół są ponad trzykrotnie droższe.

Poniżej prezentujemy przykłady modeli matematycznych wykonanych z wyciorów.

Spójrzmy na szkieletowy model platońskiego ośmiościanu foremnego (rys. 2, 3).

                      rys. 2                                                         rys. 3

Można zauważyć, że jego krawędzie da się podzielić na trzy grupy w ten sposób, że otrzymamy trzy kwadraty. Kwadraty te leżą w trzech wzajemnie prostopadłych płaszczyznach. Wykonanie szkieletowego modelu ośmiościanu foremnego jest stosunkowo proste i nie powinno zająć więcej niż kilkanaście minut. Potrzebujemy do tego 6 wyciorów (po 2 w każdym z trzech kolorów). Najpierw zaginamy końcówki drucików (po ok. 1 cm z każdej strony) tworząc haczyki, które posłużą do zaczepienia jednego wyciora o drugi (fot. 4).

fot. 4  

Ten moment przygotowania elementów jest bardzo ważny. Należy zadbać o to, by po zagięciu haczyków wszystkie druciki miały tę samą długość. W przeciwnym razie wykonany model będzie się deformował. Po zagięciu końcówek składamy każdy drucik na pół, po czym rozprostowujemy go tak, aby powstał kąt prosty - fot. 5, 6 (kliknięcie na zdjęcie otwiera pełnowymiarową wersję w nowym oknie).

          

Po przygotowaniu wszystkich sześciu elementów przystępujemy do składania modelu. Ogólna zasada łączenia jest taka, że w wierzchołku kąta prostego każdego wyciora zaczepione są dwa inne wyciory (tego samego koloru). Rozpoczynamy od złożenia trójkąta z trzech wyciorów (a w zasadzie z ich połówek) – fot. 7. Następnie doczepiamy kolejne druciki (fot. 8, 9).

fot. 7

fot. 8                                                                    fot. 9 

Po zaczepieniu ostatniego elementu konstrukcja, która była dotąd dość chwiejna, stabilizuje się. Po zakończeniu składania i ewentualnym wyrównaniu niedokładności zaczepione haczyki można docisnąć (palcami lub kombinerkami). Gotowy model przedstawia zdjęcie 10.

fot. 10 

Postępując analogicznie, możemy zbudować także model sferyczny ośmiościanu foremnego. Ponownie potrzebnych będzie sześć wyciorów, ale przygotowując je, nie należy ich zginać pod kątem prostym, tylko wygiąć w łuk stanowiący połowę okręgu (fot. 11). Poszczególne elementy zaczepiamy haczykami w środkach wygiętych łuków. Gotowy model przedstawia zdjęcie 12.

fot. 11                                                              fot. 12 

Jeśli ktoś nie chce zaczynać pracy od nowa, może powyginać wykonany wcześniej model ośmiościanu do otrzymania wersji sferycznej.

Jak już zauważyliśmy, krawędzie ośmiościanu foremnego wyznaczają trzy kwadraty. Podobną, choć nieco bardziej skomplikowaną, strukturę ma archimedesowy sześcio-ośmiościan – rys. 13 (więcej na temat wielościanów Archimedesa można przeczytać tutaj). Wielościan ten ma 24 krawędzie, które wyznaczają cztery sześciokąty foremne (rys. 14).

rys. 13                                                                   rys. 14 

Szkieletowy model tej bryły można wykonać w sposób podobny do opisanego wyżej. Przygotowujemy 12 drucików (po 3 w każdym z czterech kolorów). Zaginamy na końcach haczyki i każdy wycior składamy na pół. Ponieważ w sześciokącie foremnym miara kąta wynosi 120⁰, więc rozginając druciki, nie tworzymy z nich kąta prostego, tylko staramy się, by powstał kąt o mniej więcej takiej właśnie mierze (fot. 15). Podobnie jak wcześniej w wierzchołku każdego kąta 120° zaczepione są dwa wyciory (tego samego koloru). Składanie rozpoczynamy od złożenia kwadratu z czterech wyciorów (a w zasadzie z ich połówek) – fot. 16.

fot. 15                                                               fot. 16

W sześcio-ośmiościanie każdy kwadrat otoczony jest czterema trójkątami, a każdy trójkąt trzema kwadratami. Dlatego w kolejnym etapie dołączamy po jednym wyciorze z każdej strony i zamykamy trójkąty (fot. 17, 18). W każdym wierzchołku budowanego modelu schodzą się dwa trójkąty i dwa kwadraty (w układzie 3-4-3-4). Tak więc kolejne doczepiane wyciory będą domykać kwadraty (fot. 19).

fot. 17                                                               fot. 18

fot. 19 

Po dołożeniu ostatnich dwóch drucików model jest gotowy – fot. 20. Oczywiście również i ten model ma swoją wersję sferyczną – fot. 21.

fot. 20                                                                 fot. 21

Przygotowując wyciory do wykonania modelu sferycznego, wyginamy je tak, aby powstały z nich łuki stanowiące mniej więcej 1/3 okręgu.

W opisany wyżej sposób można zbudować także inne modele, w których wierzchołkach spotykają się 4 krawędzie. Wśród wielościanów archimedesowych są to m.in. dwudziesto-dwunastościan (rys. 22) oraz sześcio-ośmiościan rombowy mały (rys. 23).

rys. 22                                                                 rys. 23 

Krawędzie dwudziesto-dwunastościanu wyznaczają 6 dziesięciokątów foremnych (rys. 24).

Do wykonania modelu potrzeba 30 wyciorów. Jeżeli mamy wyciory w sześciu kolorach, to można wykonać model, w którym każdy dziesięciokąt będzie innego koloru, jednak model jednokolorowy również jest bardzo atrakcyjny. Z kolei zdjecie 25 przedstawia model sferyczny tej bryły.

fot. 25 

Sześcio-ośmiościan rombowy mały ma 48 krawędzi. Można podzielić je na 6 grup, z których każda wyznacza ośmiokąt foremny (rys. 26). Ośmiokąty te leżą w płaszczyznach równoległych do płaszczyzn wyznaczonych przez kwadraty w opisanym wyżej szkieletowym modelu ośmiościanu foremnego. Do wykonania modelu można wiec użyć trzech kolorów.

rys. 26 

Wykonanie modelu tej bryły jest nieco trudniejsze od opisanych wcześniej, gdyż dość łatwo można się pogubić w jej strukturze. Jednak warto podjąć się ten trud. Nagrodą będzie naprawdę piękny model, jak na zdjeciu 27.

fot. 27 

Wśród wielościanów archimedesowych znajduje się jeszcze jeden, w którego każdym wierzchołku spotykają się po 4 krawędzie. Zachęcamy do jego znalezienia i wykonania wyciorowego modelu. Przesyła=jcie do nas zdjęcia swoich prac. Autorów najciekawszych modeli nagrodzimy.

Na koniec prezentujemy zdjęcia dwóch modeli szkieletowych niewypukłych wielościanów jednorodnych (fot. 28, 29).

fot. 28                                                             fot. 29 

W istocie każdy z nich jest modelem szkieletowym trzech wielościanów z tej rodziny. Zachęcamy do znalezienia odpowiedzi na pytanie jak to możliwe oraz do zidentyfikowania, które wielościany jednorodne kryją się pod tymi modelami. Autorów poprawnych odpowiedzi także nagrodzimy.

Dalszy ciąg tekstu o medelach szkieletowych wykonanych z wyciorów jest tutaj. Natomiast o tym, jak wykonać szkieletowe modele wielościanów z rurek do napojów piszemy tutaj.