Kopuły geodezyjne i sfery Wenningera

Stosując modyfikację konstrukcji opisanych na poprzednich stronach tego rozdziału, można zbudować kopuły geodezyjne (zwane też sferami geodezyjnymi), czyli wielościany, które w bardzo dobry sposób przybliżają powierzchnię kuli. Znalazły one zastosowanie w architekturze jako atrakcyjne, wytrzymałe i samonośne (tzn. niewymagające wewnętrznych podpór) pokrycia dachowe (fot. 1-3).

Fot. 1-2 Złote Tarasy, Warszawa		Fot. 3. Ogród Zoologiczny, Wrocław

Pierwszą kopułę geodezyjną wybudowano w 1923 roku według projektu niemieckiego inżyniera Walthera Bauersfelda z przeznaczeniem na planetarium w Jenie. Pod koniec lat 40. XX wieku idee te zostały rozwinięte i spopularyzowane przez amerykańskiego konstruktora, architekta, kartografa i filozofa, wybitnego przedstawiciela kierunku hi-tech Richarda Buckminstera "Bucky’ego" Fullera (1895-1983). On też po raz pierwszy użył nazwy „kopuła geodezyjna". Półsferyczne szkielety jego budynków zaskakiwały wytrzymałością, stabilnością, łatwością wybudowania i niskimi kosztami produkcji (pozwalały osiągnąć dobre przybliżenie kulistego kształtu przy wykorzystaniu minimalnej ilości materiału). Było to możliwe dzięki przybliżeniu powierzchni kuli za pomocą ażurowych pięciokątów i sześciokątów podzielonych na trójkąty. W tym tkwiła tajemnica sukcesu, czyli uzyskania bardzo dużej wytrzymałości w stosunku do masy konstrukcji. Trójkąt jest bowiem jedynym sztywnym wielokątem. Zastosowany jako element konstrukcyjny, pozwolił otrzymać wytrzymałe, lekkie i efektywnie zaprojektowane zadaszenia samonośne, tzn. bez kolumn, poprzecznych ścian i innych podpór wewnątrz. Takie konstrukcje stały się kanonem współczesnej architektury (fot. 4-6). Konstrukcje Richarda Buckminstera Fullera stanowiły też inspirację dla powszechnie używanego dziś modelu piłki nożnej złożonego z pięcio- i sześciokątnych łat (model ten wyprodukowany po raz pierwszy w roku 1950 przez Adidasa nazywa się często buckminsterowskim).  

Fot. 4. Geoda w paryskim Muzeum Nauki i Przemysłu La Vilette	Fot. 5. Wieżowiec Swiss Tower w Londynie	Fot. 6. Zadaszenie British Muzeum w Londynie

Sposób konstrukcji wielościanów o trójkątnych ścianach przybliżających sfery prześledzimy na przykładzie kopuły geodezyjnej czwartego stopnia na bazie dwudziestościanu foremnego (rys. 1). Podzielmy każdą jego krawędź na 4 równe części. Otrzymane na krawędziach punkty podziału generują podział każdej ściany bryły na 16 trójkątów równobocznych (rys. 2).

Rys. 1                                                              Rys. 2

Po dokonaniu projekcji tej sieci trójkątów na sferę opisaną na dwudziestościanie dostaniemy na jej powierzchni 320 trójkątów sferycznych. W oparciu o nie możemy zbudować tradycyjny wielościan mający 162 wierzchołki, 480 krawędzi i 320 ścian (rys. 3). Na pierwszy rzut oka wydawać się może, że jego ściany są trójkątami równobocznymi. Chwila refleksji pozwala jednak uzmysłowić sobie, że z tylko niektóre ze ścian mogą takie być. Rzeczywiście, w opisywanym modelu jest pięć różnego typu trójkątów (rys. 4). Które z nich są równoboczne?

Rys. 3                                                                   Rys. 4

Opisany wyżej wielościan dość dobrze przybliża powierzchnię kuli. Większą dokładność można uzyskać, konstruując sfery geodezyjne wyższych stopni. Rysunki 5 i 6 przestawiają sfery geodezyjne odpowiednio 8 i 16 stopnia. Kopuła 16. stopnia składa się z 5120 ścian i odstępstwo od powierzchni kuli jest niemal niezauważalne.

Rys. 5                                                                  Rys. 6

Za bazę do konstrukcji sfery geodezyjnej mogą posłużyć również inne wielościany. W przypadku użycia wielościanów, których ściany nie są trójkątami, należy dokonać wstępnej triangulacji tych ścian. Jako przykłady mogą posłużyć sfery geodezyjne zbudowane na bazie sześcianu (rys. 7) i dwunastościanu foremnego (rys. 8).

Rys. 7                                                                    Rys. 8

Wykonanie modeli tych wielościanów (zwłaszcza kopuł wyższego stopnia) w „rozsądnej" skali nie daje satysfakcjonujących rezultatów. Wszystkich, którzy mimo to chcą spróbować swoich sił, odsyłam do programu PolyPro dostępnego (również w polskiej wersji językowej) tutaj. Zawiera on sporą bibliotekę wielościanów, wśród których można znaleźć między innymi sfery geodezyjne stopni 1-6 zbudowane na bazie wielościanów platońskich.

Magnus Wenninger (wymieniany już w galerii kilkakrotnie, np. tutaj) zauważył, że dokonanie pewnych modyfikacji w konstrukcji sfer geodezyjnych otwiera drogę do wielkiego bogactwa bardzo atrakcyjnych modeli. Istota rzeczy polega na tym, że po podziale ściany np. dwudziestościanu na mniejsze trójkąty, malujemy niektóre z nich, w wyniku czego otrzymujemy na powierzchni wielościanu (mniej lub bardziej) interesujący wzór (rys. 9, 10).

Rys. 9                                                                 Rys. 10

Projekcja wybranych trójkątów na dwie koncentryczne sfery, a następnie ich połączenie pozwalają uzyskać bardzo intrygującą konstrukcję przestrzenną (rys. 11, 12).

Rys. 11                                                              Rys. 12

Użycie kilku kolorów podkreśla strukturę takiego modelu (rys. 13).

Użycie sfery geodezyjnej wysokiego stopnia pozwala na dość dużą swobodę tworzenia ornamentu. Poniżej prezentujemy galerię modeli wykonanych w opisany wyżej sposób. Kliknięcie w miniaturę otwiera w nowym oknie duże zdjęcie. Zdjęcia podobnych modeli wykonanych przez Magnusa Wenningera można znaleźć tutaj.

Wszystkie rysunki oraz siatki niektórych modeli prezentowanych na tej stronie zostały wyeksportowane z programu Great Stella.