Deltościany

Deltościany to bryły, których wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi. Nazwa pochodzi od wielkiej greckiej litery delta, która ma właśnie kształt trójkąta. Deltościanów wypukłych jest tylko 8. Mają mieszankę cech wielościanów platońskich i wielościanów Johnsona. Deltościanów wklęsłych jest nieskończenie wiele.

Wypukłe wielościany foremne (zwane platońskimi) spełniają trzy warunki: a) ściany są wypukłymi wielokątami foremnymi, b) ściany są przystające, c) naroża są przystające. Zrezygnujmy teraz z warunku c) przystawania naroży. Czy uda się otrzymać dalsze wielościany o przystających foremnych ścianach?

Fakt 1. Jeśli istnieją bryły wypukłe o przystających foremnych ścianach i nieprzystających narożach, to ich ściany są trójkątami równobocznymi (zatem muszą to być deltościany).

Dowód. W wierzchołku każdego wielościanu muszą schodzić się co najmniej trzy ściany, a jeśli wielościan ma być wypukły, to suma kątów płaskich tworzących jego naroże musi być mniejsza niż 360°. Zatem kwadraty lub pięciokąty foremne muszą schodzić się dokładnie 3, ale wtedy wszystkie naroża będą takie same. Oczywiście wielokąty foremne o większej liczbie boków niż 5 w ogóle nie mogą utworzyć wypukłego naroża wielościanu bo mają za duże kąty wewnętrzne (już trzy sześciokąty foremne tworzą kąt pełny).

Zatem w deltościanach wypukłych poszczególne wierzchołki mogą być utworzone przez 3, 4 lub 5 trójkątnych ścian. Trzy spośród wypukłych deltościanów są foremne: czworościan, ośmiościan i dwudziestościan. Ile jest nieforemnych? Ile z nich potrafisz wskazać? Spróbujemy opisać wszystkie możliwe takie bryły.

Fakt 2. Deltościan wypukły może mieć 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 lub 20 ścian.

Dowód. Najprostszym deltościanem (i jednocześnie w ogóle najprostszym wielościanem) jest czworościan foremny. W każdym jego wierzchołku schodzą się trzy ściany. Z kolei w dwudziestościanie foremnym każdy wierzchołek jest utworzony przez maksymalną liczbę pięciu trójkątów. Nie istnieją więc wypukłe deltościany o liczbie ścian mniejszej niż 4 i większej niż 20. Ponadto liczba ich ścian musi być parzysta, bo jeśli deltościan ma S ścian, to liczba jego krawędzi jest równa 3S/2 (każda ściana ma trzy boki, ale każdy z nich jest wspólny dla dwóch sąsiednich ścian). Liczba krawędzi jest całkowita, co oznacza, że S jest parzyste.

W 1947 roku holenderscy matematycy Hans Freudenthal [czytaj frojdental] i Bartel van der Waerden [czytaj wan der waarden] wykazali, że liczba ścian deltościanu wypukłego jednoznacznie wyznacza jego kształt. Mamy więc 9 potencjalnie możliwych przypadków. Spróbujmy je znaleźć.

Pięć przykładów można wskazać bardzo łatwo. 

S=4                                   S=8                                       S=20
czworościan foremny        ośmiościan foremny =            dwudziestościan foremny
                                         dwupiramida kwadratowa

S=6                                   S=10
dwupiramida trójkątna     dwupiramida pięciokątna

S=12

Deltościan o 12 ścianach najłatwiej otrzymać przez doklejenie czworościanów do ścian czworościanu foremnego, ale jest to wielościan niewypukły. Poszukajmy innego sposobu. Weźmy dziesięciodeltościan i rozetnijmy jego dwie krawędzie ze wspólnej podstawy sklejanych ostrosłupów pięciokątnych. Odpowiednio odginając te podstawy, ruszamy jakby „paszczą”, którą można otworzyć w ten sposób, aby odległość między punktami A i B była równa długości boku trójkątów (rysunek a). Zaklejając powstały otwór dwoma trójkątami równobocznymi, otrzymamy wypukły dwunastodeltościan (rysunek b).

                                             a)                                                  b)

S=14

Deltościan o 14 ścianach można otrzymać przez doklejenie ostrosłupów do kwadratowych ścian bocznych graniastosłupa prawidłowego trójkątnego (rysunek a). Otrzymany wielościan nazywamy potrójnie powiększonym graniastosłupem trójkątnym. Na szczęście jest on wypukły (rysunek b).

                                                a)                                                        b)

S=16

Doklejając ostrosłupy do podstaw antygraniastosłupa kwadratowego (rysunek a), otrzymamy deltościan wypukły o 16 ścianach (rysunek b). 

                                             a)                                                      b)

S=18 

Deltościan o 18 ścianach najprościej możemy uzyskać poprzez doklejenie ostrosłupów do wszystkich ścian graniastosłupa prawidłowego trójkątnego - na podstawach doklejamy czworościany, a na ścianach bocznych - ostrosłupy kwadratowe. Rzeczywiście otrzymujemy 3·4+2·3=18 ścian, ale bryła jest wklęsła. Możemy próbować jeszcze na inne sposoby, ale efekt zawsze będzie ten sam - brak wypukłości.

Ćwiczenie. Pokaż, że 18-deltościanu nie można otrzymać przez doklejanie ostrosłupów do ścian graniastosłupów ani antygraniastosłupów.

Wskazówka. W grę wchodzą graniastosłupy i antygraniastosłupy trójkątne czworokątne i i pięciokątne. Dlaczego tylko one?

Fakt 3. Nie ma deltościanu wypukłego o 18 ścianach.

Dowód. Niech W, K i S oznaczają odpowiednio liczby wierzchołków, krawędzi i ścian wielościanu. Skorzystamy ze znanego wzoru Eulera dla wielościanów wypukłych: W - K + S = 2.  Ponieważ S=18, a we wszystkich deltościanach K=3S/2, mamy K=27 oraz W-27+18 = 2, skąd W=11.
Wiemy już, że w deltościanach możliwe są wierzchołki trzech typów: wspólne dla 3, 4 albo 5 krawędzi. Oznaczmy ich liczby odpowiednio przez W₃, W₄ i W₅. Mamy zatem W=W₃+W₄+W₅=11. Musi też zachodzić warunek 3W₃+4W₄+5W₅=2K=54 (po lewej stronie zliczamy dwukrotnie wszystkie krawędzie szukanej bryły – po 3 krawędzie wychodzą z W₃ wierzchołków, po 4 z W₄ i po 5 z W₅, ale każdą policzyliśmy w jej obu końcach). Otrzymany układ równań jest równoważny układowi: W₃=W₅-10 i W₄=21-W₅. Ponieważ liczba wierzchołków każdego typu musi być naturalna, z pierwszego warunku wynika, że W₅≥10, a z drugiego, że W₅≤10. Mamy więc W₅=10, co pociąga W₃=0 i W₄=1. Jak wyglądałby taki osiemnastodeltościan? Kiedy próbujemy wyobrazić sobie jego szkielet, startując od wierzchołka wspólnego dla czterech ścian i pamiętając, że wszystkie ściany mają być trójkątne, a wszystkie pozostałe wierzchołki wspólne dla 5 ścian, łatwo dochodzimy do wniosku, że jest to niemożliwe.

Wykonanie modeli wszystkich ośmiu wypukłych deltościanów nie powinno sprawić kłopotów nawet początkującym bryłkarzom. Rysunki poniżej przedstawiają siatki deltościanów o 12, 14 i 16 ścianach (kliknięcie powoduje ich powiększenie w osobnym oknie). Siatki pozostałych są proste, a ich znalezienie pozostawiam jako zadanie dla Czytelników.

siatka 12-deltościanu          siatka 14-deltościanu          siatka 16-deltościanu

Deltościanów niewypukłych jest nieskończenie wiele. Mogą mieć dowolną parzystą liczbę ścian większą od 6. Dlaczego? Różne deltościany wykonane w technice origami można obejrzeć na Portalu tutaj.