Algorytmy działań pisemnych

Tu przypominamy algorytmy dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia sposobem pisemnym. W działaniach pisemnych bardzo ważne jest staranne podpisywanie cyfr jedna pod drugą, dlatego ćwiczenia najlepiej wykonywać na papierze w kratkę, wpisując w jedną kratkę jedną cyfrę.

DODAWANIE

Algorytm dodawania pisemnego liczb wielocyfrowych polega na osobnym dodawaniu jedności, dziesiątek, setek itd. Korzystamy w nim z łączności i przemienności dodawania. To znaczy, że np. liczby 134 i 231 dodajemy tak: 134+231 = (100+30+4) + (200+30+1) = (100+200) + (30+30) + (4+1) = 300+60+5 = 365. W algorytmie dodawania pisemnego inny jest tylko sposób zapisania tych działań.

zasady:

• zapisujemy liczby jedna pod drugą, tak aby cyfry z tych samych rzędów dziesiętnych znalazły się w jednej kolumnie, tzn. cyfra jedności pierwszej liczby musi znaleźć się dokładnie nad cyfrą jedności drugiej liczby itd.
• podkreślamy powstały zapis kreską oznaczającą znak równości,
• dodajemy cyfry znajdujące się w kolejnych rzędach, zaczynając od jedności,
• jeżeli suma otrzymana w danym rzędzie jest jednocyfrowa, to wynik zapisujemy pod kreską w tym samym rzędzie,
• jeżeli suma cyfr w danym rzędzie jest dwucyfrowa, to cyfrę jedności sumy zapisujemy pod kreską w tym samym rzędzie, a cyfrę dziesiątek nad kolejnym rzędem (mówimy, że tę cyfrę 'przenosimy' do następnego rzędu).

przykłady:

1) sumy cyfr w każdym rzędzie są jednocyfrowe, czyli nie ma przenoszenia

[tex]\begin{array}{r} 62345\\ +24523\\\hline 86868 \end{array}[/tex] 

2) sumy cyfr w niektórych rzędach są dwucyfrowe, czyli jest przenoszenie

 [tex]\begin{array}{r} \color{red}{11\;1\:\;}\\ 64335\\ +79385\\\hline 143720\end{array}[/tex] 

3) możemy dodawać na raz więcej niż dwie liczby

[tex]\begin{array}{r}\color{red}{ 2121\:\;}\\ 23456\\ 97765\\ +29384\\\hline 150605\end{array}[/tex] 

A teraz spróbuj sam:

1) 6666 + 4321

2) 23456789 + 98765432

3) 9999999 + 8765432 + 1234567 + 7654

ODEJMOWANIE

Algorytm odejmowania pisemnego liczb wielocyfrowych polega na osobnym odejmowaniu jedności, dziesiątek, setek itd. Korzystamy w nim z łączności i przemienności dodawania. To znaczy, że np. liczby 234 i 131 odejmujemy tak: 234 − 131 = (200+30+4) − (100+30+1) = (200−100) + (30−30) + (4−1) = 100+0+3 = 103. W algorytmie odejmowania pisemnego inny jest tylko sposób zapisania tych działań.

zasady:

• zapisujemy odjemną na górze, a pod nią odjemnik, tak aby cyfry z tych samych rzędów dziesiętnych znalazły się w jednej kolumnie, tzn. cyfra jedności odjemnej musi znaleźć się dokładnie nad cyfrą jedności odjemnika itd.
• podkreślamy powstały zapis kreską oznaczającą znak równości,
• odejmujemy cyfry znajdujące się w kolejnych rzędach (od cyfry na górze odejmujemy tę znajdującą się poniżej), zaczynając od jedności,
• jeżeli odejmowanie cyfr w danym rzędzie daje wynik nieujemny (tzn. jeśli górna cyfra jest większa lub równa dolnej), to wynik zapisujemy pod kreską w tym samym rzędzie,
• jeżeli odejmowanie cyfr w danym rzędzie daje wynik ujemny (tzn. jeśli górna cyfra jest mniejsza), to cyfrę odjemnej z następnego rzędu zmniejszamy o 1 (co wygodnie zapisać na górze w tym rzędzie), a do cyfry z aktualnego rzędu dodajemy 10 (mówimy, że 'rozmieniamy' cyfrę wyższego rzędu) i wykonujemy odejmowanie, zapisując jego wynik w tym samym rzędzie pod kreską.

przykłady:

1) różnice cyfr we wszystkich rzędach są nieujemne, czyli nie ma rozmieniania

[tex]\begin{array}{r} 98765\\-5435\\ \hline 3330\end{array}[/tex] 

2) różnice cyfr w niektórych rzędach są ujemne, czyli jest rozmienianie

[tex]\begin{array}{r} \color{blue}{8\;\;\;\;\;\;\;\;} \\\color{red}{\;15\;\;\;\;\;\;}\\ 95546\\ -36524 \\ \hline 59022\end{array}[/tex] 

A teraz spróbuj sam:

1) 7896 − 123

2) 12345 − 9876

3) 10003 − 38

MNOŻENIE

Algorytm mnożenia pisemnego liczb wielocyfrowych polega na osobnym mnożeniu cyfr pierwszego czynnika przez kolejne cyfry drugiego czynnika. Korzystamy w nim z łączności dodawania, rozdzielności mnożenia względem dodawania i przemienności mnożenia. Na przykład liczby 23 i 54 mnożymy tak: 23 · 54  =  (20+3) · (50+4)  =  20·4 + 3·4  +  20·50 + 3·50  =  2·4·10 + 3·4 + 2·5·100 + 3·5·10  =  80+12+1000+150  =  1242. W algorytmie mnożenia pisemnego inny jest tylko sposób zapisania tych działań. 

zasady:

• dla wygody za pierwszy czynnik przyjmujemy ten, który ma więcej cyfr i zapisujemy na górze,
• jeśli żaden z czynników nie kończy się zerem, zapisujemy te liczby jedna pod drugą, tak aby cyfry z tych samych rzędów dziesiętnych znalazły się w jednej kolumnie, tzn. cyfra jedności pierwszej liczby musi znaleźć się dokładnie nad cyfrą jedności drugiej liczby itd.
• jeżeli jeden lub oba czynniki kończą się zerami, pomijamy te zera i nowe liczby zapisujemy jedna pod drugą, należy jednak pamiętać, aby wszystkie pominięte zera dopisać na końcu otrzymanego wyniku, bo np. 1230 · 45600 = 123·456·1000 = 56088·1000 = 56088000,
• podkreślamy powstały zapis kreską oznaczającą znak równości,
• każdą cyfrę pierwszego czynnika (zaczynając od prawej strony) mnożymy przez cyfrę jedności drugiego czynnika, a wynik tego mnożenia zapisujemy bezpośrednio pod kreską,
• jeżeli otrzymany iloczyn cyfr jest jednocyfrowy, to zapisujemy go w tej samej kolumnie, w której stoi mnożona właśnie cyfra pierwszego czynnika, a jeśli jest dwucyfrowy, to w tej kolumnie wpisujemy tylko cyfrę jedności, a cyfrę dziesiątek 'przenosimy' do następnego rzędu (zapisując ją na górze),
• potem mnożymy każdą cyfrę pierwszego czynnika (zaczynając znowu od prawej strony) przez cyfrę dziesiątek drugiego czynnika, a wynik tego mnożenia zapisujemy w drugim wersie pod kreską, przy czym cyfry jedności kolejnych iloczynów wpisujemy przesunięte o jedno miejsce w lewo w stosunku do kolumny, w której stała mnożona cyfra pierwszego czynnika, i nadal stosujemy przenoszenie cyfry dziesiątek do następnego rzędu, 
• kontynuujemy to postępowanie dla kolejnych cyfr drugiego czynnika wpisując wyniki w kolejnych wersach pod kreską i przesuwając je o jedno miejsce w lewo,
• po wymnożeniu wszystkich cyfr obu czynników dodajemy pisemnie liczby otrzymane w kolejnych wersach pod kreską,
• jeżeli w drugim czynniku występuje cyfra zero, w wyniku otrzymamy cały wers złożony z samych zer, dlatego mnożenie przez tę cyfrę możemy pominąć, należy jednak pamiętać o przesunięciu wyniku z następnego wiersza o jedno dodatkowe miejsce w lewo.

przykłady:

1) wszystkie iloczyny cyfr są jednocyfrowe, czyli nie ma przenoszenia

[tex]\begin{array}{r} 4234\\ \times\;\;\; \;\;21\\ \hline  4234\\ + \;8468\:\;\\ \hline 88914 \end{array}[/tex] 

2) niektóre iloczyny cyfr są dwucyfrowe, czyli jest przenoszenie

[tex]\begin{array}{r}\color{red}{433\:\;}\\ 9876\\ \times\;\;\;\;\;\;\;5\\ \hline 49380 \end{array}[/tex] 

3) w czynnikach występują końcowe zera, które na początku opuszczamy, a na końcu dopisujemy

        
   23400
 × 3360
 ————————  
  1404     
  702
+702
————————
 78624000  

4) w drugim czynniku występują wewnętrzne zera, czyli pomijamy mnożenie przez nie

     
      2345
    ×  506
  ————————
     14070
  +11725
  ————————
   1186570        

A teraz spróbuj sam:

1) 16 · 38

2) 7354 · 45

3) 2540 · 150

DZIELENIE Z RESZTĄ

Algorytm dzielenia pisemnego liczb wielocyfrowych polega na grupowaniu cyfr dzielnej tak, by powstała liczba większa od dzielnika, i całkowitym dzieleniu tak powstałych liczb przez dzielnik, czyli określaniu, ile razy w powstałych w ten sposób liczbach mieści się dzielnik. W efekcie dzielenie dużej liczby wykonujemy jakby 'na raty', na przykład liczbę 62575 dzielimy przez 25 tak (zapis [a] oznacza cześć całkowitą liczby a): 62675 : 25  =  (62000+675) : 25  =  62000:25 + 675:25  =  [62:25]·1000 + 12000 + 675:25  =  2·1000 + 12600:25 + 75:25  =  2000 + [126:25]·100 + 100 + 75:25  =  2000 + 5·100 +175:25  =  2000 + 500 + 7  =  2507. W algorytmie dzielenia pisemnego inny jest tylko sposób zapisania tych działań. Korzystamy w nim z łączności dodawania i rozdzielności dzielenia względem dodawania.

zasady:

• zapisujemy najpierw dzie4lną i obok dzielnik oddzielone znakiem dzielenia
• nad dzielną stawiamy kreskę, która zastępuje znak równości; nad tą kreską będziemy zapisywać kolejne cyfry wyniku
• zaczynając od lewej strony grupujemy tyle cyfr dzielnej, aby utworzyły liczbę nie mniejszą od dzielnika; wtedy zgadujemy, ile razy dzielnik mieści się w takiej liczbie, np. wykonując dzielenie 1234 : 56 rozpoczynamy od 123:56, bo liczba 56 nie mieści się ani w 1, ani w 12, mieści się dopiero w 123
• otrzymany jednocyfrowy iloraz zapisujemy nad kreską, w rzędzie jedności dzielonej przed chwilą liczby, np. w dzieleniu 1234 : 56 nad cyfrą 3 z liczby 123 zapiszemy cyfrę 2,
• mnożymy dzielnik przez wpisaną właśnie nad kreską cyfrę wyniku, 
• otrzymany iloczyn zapisujemy pod tymi cyframi dzielnej, które utworzyły dzieloną wcześniej liczbę, np. w dzieleniu 1234:56 iloczyn 2·56 = 112 zapiszemy pod liczbą 123
• pod dopisanym iloczynem stawiamy kreskę i wykonujemy odejmowanie pisemne tego iloczynu od wcześniej dzielonej liczby, np. w dzieleniu 1234:56 różnicą tą jest 123 − 112 = 11
• na końcu otrzymanej różnicy dopisujemy kolejną, 'nieużywaną' dotąd cyfrę dzielnej, np. w dzieleniu 1234:56 cyfrą dopisywaną do 11 jest 4
• jeśli otrzymamy liczbę nie mniejszą od dzielnika, powtarzamy od nowa procedurę dzielenia, jeśli otrzymamy liczbę mniejszą od dzielnika, dopisujemy kolejną cyfrę dzielnej
• powtarzamy opisaną procedurę aż wyczerpiemy wszystkie cyfry dzielnej
• po zakończeniu algorytmu nad górną kreską otrzymamy iloraz, a pod ostatnią kreską na dole resztę z dzielenia.

przykłady:

1) reszta niezerowa

1234:56

     
     22
   ——————
   1234 : 56
  -112
  ————
    114
   -112
   ————
      2

2) reszta zerowa

     
    35748
   ——————
   428976 : 12
  -36
  ————
    68
   -60
   ————
     89
    -84
    ————
      57
     -48
     ————
       96
      -96
      ————
        0

3) zero występuje w ilorazie (i reszta zerowa)

    2503
   ————————
   62575 : 25
  -50
  ————
   125
  -125
  ————
     075
    - 75
    ————
       0      

4) zero występuje w ilorazie (i reszta niezerowa)

    2605
   ——————
   33875 : 13
  -26
  ————
    78
   -78
   ————
     075
    - 65
    ————
      10            

A teraz spróbuj sam:

1) 60656:17

2) 575713:23

3) 507692:25

DZIELENIE Z ROZWINIĘCIEM DZIESIĘTNYM

Dwie liczby całkowite możemy podzielić bez reszty, otrzymując w wyniku liczbę dziesiętną ze skończonym lub okresowym rozwinięciem. Aby zrobić to sposobem pisemnym, wykonujemy opisany powyżej algorytm dzielenia z resztą, a po 'wyczerpaniu' cyfr dzielnej do spisywania stawiamy przecinek po ostatnio otrzymanej cyfrze wyniku, zaś do ostatniej reszty dopisujemy na końcu zero i kontynuujemy proces dzielenia. Powtarzamy to postępowanie dopóki nie otrzymamy w którymś kroku reszty zero (oznacza to, ze rozwinięcie jest skończone) lub dopóki w ilorazie nie pojawi się okres, czyli procedura dzielenia się zapętli i zacznie się powtarzać.

przykłady:

1) iloraz ma rozwinięcie skończone

     146,75
   ————————
    2348 : 16
   -16
   ————
     74
    -64
    ————
     108
     -96
     —————
      120
     -112
     —————
        80
       -80
       ————
         0

2) iloraz ma rozwinięcie okresowe

[tex]\begin{array}{l}\;\;\;\quad\;\:1563,733\ldots\\ \qquad\overline{23456}:15\\ \quad -\underline{15}\\  \qquad\:84\\  \quad\;\;-\underline{75}\\  \quad\quad\;\;\;95\\  \:\qquad-\underline{90}\\  \quad\qquad\:\;56\\ \quad\quad\;\;\:-\underline{45}\\ \quad\qquad\:\;110\\  \qquad\;\;\:-\underline{105}\\  \qquad\;\;\;\;\;\;\;\;50\\  \qquad\;\;\;\;\:-\underline{45}\\  \quad\qquad\;\;\;\:50\\ \;\qquad\qquad\ldots\end{array}[/tex]

A teraz spróbuj sam:

1) 76048 : 32

2) 9510489 : 27

3) 1234:15

DZIAŁANIA PISEMNE NA LICZBACH DZIESIĘTNYCH

Algorytmy pisemnego wykonywania działań na liczbach dziesiętnych nie różnią się znacząco od algorytmów dla liczb całkowitych, musimy tylko zadbać o poprawne podpisanie liczb, tak by zgadzały się ich rzędy dziesiętne (czyli by zgadzało się położenie przecinka). Poniżej podajemy zasady postępowania w przypadku każdego z działań. 

zasady:

• w dodawaniu i odejmowaniu liczb dziesiętnych należy pamiętać, aby przecinki składników lub odjemnej i odjemnika oraz wyniku działania znajdowały się dokładnie jeden pod drugim
• w mnożeniu liczb dziesiętnych pomijamy przecinki w zapisie czynników, wykonujemy mnożenie jak na liczbach całkowitych, a na koniec dopisujemy przecinek w iloczynie tak, by oddzielił z prawej strony tyle cyfr, ile było ich w sumie po prawej stronie przecinków w obu czynnikach, bo np. 123,4 · 5,67 = (123,4·10:10) · (5,67·100:100) = 1234 · 567 : 1000
• w dzieleniu liczb dziesiętnych przesuwamy przecinek w dzielnej i dzielniku o tyle samo miejsc w prawo, tak by dzielnik stał się liczbą całkowitą i wtedy wykonujemy dzielenie, bo np. 123,4 : 5,67 = (123,4·100) : (5,67·100) = 12340 : 567
• jeśli w dzielnej po tym przesunięciu pozostanie przecinek, w wyniku wstawiamy go w tym samym miejscu, tzn. nad przecinkiem w dzielnej i kontynuujemy procedurę dzielenia
• podczas dzielenia liczb niecałkowitych zawsze wykonujemy dzielenie bez reszty, tzn. do uzyskania skończonego lub okresowego rozwinięcia dziesiętnego.

 przykłady:

1) dodawanie

     123,45
   +  67,8
   ————————
     191,25

2) odejmowanie

    765,897
   - 32,53
   —————————
    733,367

3) mnożenie

    123,67
  ×    6,2
  ———————— 
     24734
  + 74202
  ————————
   766,754

4) dzielenie

Aby wykonać dzielenie 73,032 : 3,1 przesuwamy przecinek w obu liczbach o jedno miejsce w prawo i wykonujemy dzielenie 730,32:31.

    235,72
   ————————
   7307,32 : 31
  -62
  ————
   110
   -93
   ————
    177
   -155
   ————
     223
    -217
    ————
      62
     -62
     ————
       0

A teraz spróbuj sam:

1) 9876,5432 + 45,95

2) 9876,5032 - 86,67

3) 687, 876 × 34,7

4) 53,38 : 3,14 

5) 1,6 : 1,32

6) 20095,329 : 3,7 

Uwaga dla formalistów. Powyżej używamy określenia "suma/różnica/iloczyn/iloraz cyfr". W rzeczywistości na cyfrach nie można wykonywać działań, bo cyfry to znaki graficzne. Działania wykonuje się tylko na liczbach. Zwrot "suma cyfr danej liczby" jest formalnie niepoprawny. To tylko skrót myślowy oznaczający "sumę liczb jednocyfrowych reprezentowanych przez cyfry danej liczby". Ale w żargonie matematycznym jest powszechnie używany i przez wszystkich poprawnie rozumiany.