Zasady sprytnych rachunków

Tutaj podajemy sposoby sprytnego wykonywania niektórych działań. Stosowanie tych tricków ułatwia szybkie prowadzenie obliczeń w pamięci. Okazuje się, że nawet mnożenie i dzielenie przez niektóre liczby jest bardzo łatwe, nie musimy znać na pamięć tabliczki mnożenia, nie potrzebujemy kalkulatora ani algorytmów działań pisemnych. Wystarczy trochę pokombinować.

Czy potrafisz powiedzieć, z jakich własności działań korzysta się w tych rachunkach? Spróbuj wymyślić własne techniki sprytnych rachunków.

Grupowanie do dziesiątek

• Czasami warto zmienić kolejność składników i połączyć je tak, aby dodawane liczby sumowały się do pełnych dziesiątek, np. 2 + 47 + 55 + 13 + 65 + 8 = (12 + 8) + (47 + 13) + (55 + 65) = = 20 + 60 + 120 = 200
• Także zmiana kolejności i grupowanie czynników może ułatwić obliczenia, np. 4 ∙ 13 ∙ 25 = (4 ∙ 25) ∙ 13 = 100 ∙ 13 =
  1300
• W dodawaniu jeden ze składników można zwiększyć, a inny zmniejszyć o tę samą liczbę, aby otrzymać wielokrotność dziesiątki, np. 19 + 8 = (19 + 1) + (8 – 1) = 20 + 7 = 27
• W odejmowaniu odjemną i odjemnik można na raz zwiększyć lub zmniejszyć o tę samą liczbę, aby otrzymać wielokrotność dziesiątki, np. 14 – 9 = (14 + 1) – (9 + 1) = 15 – 10 = 5

Mnożenie i dzielenie na raty

• Mnożenie i dzielenie przez liczby złożone można wykonać krok po kroku, np.
  41 · 6 = 41 · 3 · 2 = (41 · 3) · 2 = 123 · 2 = 246
  72 : 6 = 72 : 2 : 3 = (72 : 2) : 3 = 36 : 3 = 12 

Rozgrupowanie na mniejsze/wygodniejsze liczby

• Mnożenie może być łatwiejsze, gdy rozłożymy jeden z czynników na sumę lub różnicę, np.
  4 ∙ 17 = 4 ∙ (10 + 7) = 4∙10 + 4∙7 = 40 + 28 = 68
  4 ∙ 17 = 4 ∙ (20 − 3) = 4·20 − 4∙3 = 80 − 12 = 68
• Dzielenie także może być łatwiejsze, gdy rozłożymy dzielną na sumę lub różnicę, np.
  72 : 12 = (60 + 12) : 12 = 60:12 + 12:12 = 5 + 1 = 6
  108 : 12 = (120 − 12) : 12 = 120:12 − 12:12 = 10 + 1 = 11
  Uwaga! Nie wolno tego robić z dzielnikiem. Dlaczego?

Mnożenie i dzielenie przez 10, 100, 1000, ...

• aby pomnożyć liczbę całkowitą przez 10, wystarczy dopisać 0 na końcu tej liczby, podobnie przy mnożeniu przez 100 dopisujemy dwa zera, przez 1000 - trzy itd.
• ogólnie na końcu mnożonej liczby całkowitej dopisujemy tyle zer, ile ich jest po jedynce w drugim czynniku, np. 234×10⁵ = 234×100 000 = 23 400 000
• aby pomnożyć liczbę dziesiętną przez 10, wystarczy przesunąć przecinek w tej liczbie o jedno miejsce w prawo, podobnie przy mnożeniu przez 100 przesuwamy przecinek o dwa miejsca, przez 1000 - o trzy itd.
• ogólnie przesuwamy przecinek w mnożonej liczbie dziesiętnej o tyle miejsc w prawo, ile jest zer po jedynce w drugim czynniku, np. 12,345 678 × 10⁵ = 12,345 678×100 000 = 1 234 567,8
• jeśli liczba zer w drugim czynniku jest większa niż liczba cyfr po przecinku w pierwszym czynniku, na końcu tego czynnika dopisujemy tyle zer, aby przecinek można było swobodnie przesunąć, np. 123,45 × 10⁵ = 123,45 × 100 000 = 123,45000 × 100 000 = 12345000, bo przecież 123,45 × 100 000 = 123,45 ×100×1000 = 12 345×1000 = 1 2345 000
• aby podzielić liczbę całkowitą przez 10, dopisujemy przecinek po cyfrze jedności i przesuwamy go o jedno miejsce w lewo; podobnie przy dzieleniu przez 100 przesuwamy go o dwa miejsca, przez 1000 - o trzy itd.
• przy dzieleniu liczby dziesiętnej przez 10, 100, 100, również przesuwamy przecinek w lewo odpowiednio o jedno, dwa lub trzy miejsca,
• ogólnie przesuwamy przecinek w dzielonej liczbie o tyle miejsc w lewo, ile jest zer po jedynce w dzielniku, np. 123456,7 : 10⁵ = 123456,7 : 100 000 = 1,234567
• jeśli liczba zer w dzielniku jest większa niż liczba cyfr przed przecinkiem w dzielnej, na początku dzielnej dopisujemy tyle zer, aby przecinek można było swobodnie przesunąć, np. 123,45 : 10⁵ = 123,45 : 100 000 = 000123,45 : 100 000 = 0,0012345

A teraz spróbuj sam:

1) 13·100
2) 14·1000
3) 123,456·100
4) 123,456·10000
5) 200:10
6) 123,456:100
7) 12:100
8) 145:100000