Działania na liczbach naturalnych

W liczbach naturalnych wykonalne są działania dodawania i mnożenia oraz dzielenie z resztą. Dwa pierwsze są łatwe i zostały opisane w innych miejscach ściągi. Zajmiemy się tutaj tym trzecim działaniem.

DZIELNIKI I WIELOKROTNOŚCI

Mówimy, że liczba naturalna a dzieli liczbę naturalną b (lub innymi słowy, że liczba a jest dzielnikiem b, albo że liczba b jest podzielna przez a lub że b jest wielokrotnością a), jeżeli istnieje taka liczba naturalna c, że b=ac. Zapisujemy to następujaco: a|b i czytamy "a dzieli b". Na przykład 2|6 (dwa dzieli sześć), bo 6=2·3, ale $4\not \mid 6$ (cztery nie dzieli sześciu), bo nie ma takiej liczby naturalnej, która pomnożona przez 4 daje 6.

Każda liczba naturalna jest podzielna przez 1 i przez samą siebie. Liczby pierwsze oprócz tych dwóch, nie mają już żadnych innych dzielników, a liczby złożone mają jeszcze inne dzielniki. Każda liczba naturalna ma skończenie wiele dzielników. Dwie liczby naturalne mają zawsze wspólny dzielnik równy 1, ale mogą mieć także inne wspólne dzielniki.

Każda liczba ma nieskończenie wiele wielokrotności. Wielokrotnością każdej liczby jest ona sama. Dwie liczby naturalne mają zawsze wspólną wielokrotność będącą ich iloczynem, ale mogą mieć także inne wspólne wielokrotności.

Przykłady

• liczba 17 ma 2 dzielniki: 1 i 17
• liczba 15 ma 4 dzielniki: 1, 3, 5, 15
• liczba 24 ma 8 dzielników: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
• liczby 17 i 24 mają 1 wspólny dzielnik: 1
• liczby 15 i 24 mają 2 wspólne dzielniki: 1 i 3
• wielokrotności liczby 5 to m. in. 5, 10, 15, 20, 25, ..., 175, 180, ... i inne
• wielokrotności liczby 4 to m. in. 4, 8, 12, 16, 20, ...,
  100, 104, ... i inne
• wielokrotności liczby 11 to m. in. 11, 22, 33, 44, ..., 121, 132, ... i inne
• liczby 4 i 5 mają nieskończenie wiele wspólnych wielokrotności, są to m. in. 20, 40, 60, ... i inne
• liczby 4 i 11 maja nieskończenie wiele wspólnych wielokrotności, są to m. in. 44, 88, 132, ... i inne

DZIELENIE Z RESZTĄ

Dzielenie z resztą liczby naturalnej m przez liczbę naturalną n będziemy zapisywali jako [m:n]. Wynikiem tego działania są dwie liczby liczby naturalne q i r. Pierwsza to tzw. iloraz
całkowity, który określa, ile maksymalnie razy n mieści się w m. Druga to reszta, która mówi, o ile m przekracza iloczyn qn (to jest największa wielokrotność n, która nie przekracza m). Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.

Przykłady

• [6:2] = 3 r. 0, bo 2 mieści się w 6 trzy razy i nie zostaje reszta
• [6:4] = 1 r. 2, bo 4 mieści się w 6 raz i zostaje reszta 4
• [7:3] = 2 r. 1, bo 3 mieści się w 7 dwa razy i zostaje reszta 3
• [8:4] = 2 r. 0, bo 4 mieści się w 8 dwa razy i nie zostaje reszta
• [17:4] = 4 r. 1, bo 4 mieści się w 17 cztery razy i zostaje reszta 1
• [25:7] = 3 r. 4, bo 7 mieści się w 25 trzy razy i zostaje reszta 4
• [39:11] = 3 r. 6, bo 11 mieści się w 39 trzy razy i zostaje reszta 6

NAJWIĘKSZY WSPÓLNY DZIELNIK

Dla dwóch lub większej liczby liczb naturalnych możemy określić ich największy wspólny dzielnik (w skrócie NWD).  Jest to największa liczba naturalna, która jest dzielnikiem każdej z tych liczb.

Przykłady

• NWD(2, 6) = 2
• NWD (1, 6) = 1
• NWD (3, 5) = 1
• NWD (5, 5) = 5
• NWD (36, 48) = 12
• NWD (3, 5, 7) = 1
• NWD (2, 4, 6) = 2
• NWD (6, 18, 24) = 6
• NWD (12, 15, 18) = 3

Dwie liczby, których największy wspólny dzielnik wynosi 1, nazywamy względnie pierwszymi. Liczby pierwsze są zawsze względnie pierwsze. 

Własności NWD

Jak obliczać NWD?

A teraz spróbuj sam

NAJMNIEJSZA WSPÓLNA WIELOKROTNOŚĆ

Dla dwóch lub większej liczby liczb naturalnych możemy określić ich najmniejszą wspólną wielokrotność (w skrócie NWW).  Jest to najmniejsza liczba naturalna, która jest wielokrotnością każdej z tych liczb.

Przykłady

• NWW (1, 3) = 3
• NWW (6, 12) = 12
• NWW (36, 36) = 36
• NWW (5, 7) = 35
• NWW (12, 15) = 60
• NWW (22, 33) = 66
• NWW (3, 4, 5) = 60
• NWW (6, 12, 18) = 36

Własności NWW

Jak obliczać NWW?

A teraz spróbuj sam