Zad. 1. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n suma sześcianów liczb naturalnych od 1 do n jest kwadratem pewnej liczby naturalnej. Jakiej?
Zad. 2. Rozwiąż w parach liczb całkowitych równanie x+y = (x–y)2.
Zad. 3. Punkty A, B, C, D, ... są kolejnymi wierzchołkami pewnego wielokąta foremnego, przy czym zachodzi 1/|AB| = 1/|AC| + 1/|AD|. Ile boków ma ten wielokąt?
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 19 pkt - Igor Sudyka
- 20 pkt - Hanna Osajda
Zad. 1. Suma sześcianów pierwszych n liczb naturalnych jest kwadratem sumy pierwszych n liczb. Udowodnimy to poprzez indukcję względem n. Zauważmy, że dla n = 1 teza zachodzi. Załóżmy, że teza zachodzi więc dla pewnej liczby naturalnej k. Pokażemy, że zachodzi również dla k+1.
13 + 23 +... + n3 + (n+1)3 = (1 + 2 + ... + n)2 + (n+1)3 = [tex](\frac{n(n+1)}{2})^2 + (n+1)^3[/tex]
= [tex]\frac{n^2(n+1)^2 + 4(n+1)^3}{4} = \frac{(n+1)^2(n^2 + 4(n+1))}{4} = \frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} = (\frac{(n+1)(n+2)}{2})^2[/tex]
Zad. 2. Podstawmy a = x - y, wówczas oryginalną równość można zapisać jako 2y + a = a2. Czyli [tex]y = \frac{a(a-1)}{2}[/tex] oraz co za tym idzie [tex]x = \frac{a(a+1)}{2}[/tex]. Ponieważ dla dowolnej liczby całkowitej a liczby a(a-1) oraz a(a+1) są parzyste, to dla każdej liczby całkowitej a para [tex](\frac{a(a-1)}{2}, \frac{a(a+1)}{2})[/tex] stanowi rozwiązanie.
Zad. 3. Zauważmy, że wierzchołki A, B, C, D nie moga być wszystkim wierzchołkami tego wielokąta. Bo wówczas byłby on kwadratem. Dla kwadratu dana równość nie zachodzi. Niech więc E oznacza wierzchołek, który następuje po D. Z równości z treści po kilku przekształceniach otrzymujemy |AC||AD| = |AB||AD| + |AB||AC| Ponieważ |AC| = |CE|, oraz |AB| = |CD| = |DE|, mamy |CE||AD| = |CD||AD| + |DE||AC|. Patrząc na czworokąt ACDE, jako na wpisany w okrąg, z twierdzenia Ptolemeusza mamy: |CE||AD| = |CD||AE| + |DE||AC|. Odejmujemy od siebie równości i otrzymujemy, że |AE| = |AD|. Oznacza to jednak, że punkty D i E leżą symetrycznie po dwóch stronach średnicy (przechodzącej przez punkt A) okręgu opisanego na wielokącie ABCDE... Wielokąt z zadania musi więc być siedmiokątem.
