Zad. 1. Dane są trzy niezerowe liczby rzeczywiste a, b, c o ujemnej sumie, takie że b2 < 4ac. Udowodnij, że a3c2 + abc + c < 0.
Zad. 2. Na płaszczyźnie dana jest prosta m oraz punkty A i B leżące po jej przeciwnych stronach. Znajdź na prostej m taki punkt M, żeby różnica odległości tego punktu od punktów A i B była jak największa.
Zad. 3. Niech a i b będą różnymi liczbami całkowitymi dodatnimi, a W będzie takim wielomianem o współczynnikach całkowitych, że W(a) = b i W(b) = a. Wykaż, że ab|W(a+b).
W edycji grudniowej punkty zdobyli:
- 20 - Igor Surdyka V LO Kraków
- 10 - Hanna Osajda III LO Wrocław.
Podsumowując starania zawodników w ostatnich trzech miesiącach, rok 2024. zakończył się następującymi wynikami:
- 56 pkt - Igor Sudyka (V LO Kraków)
- 34 pkt - Hanna Osajda (III LO Wrocław).
Gratulacje! Życzymy powodzenia w kolejnych miesiącach zmagań!
Zad. 1. Rozważmy funkcję kwadratową f(x)=ax2+bx+c. Nierówności z treści zadania możemy zapisać za pomocą funkcji f jako f(1)<0 oraz Δf < 0. Ujemny wyróżnik oznacza, że cała parabola znajduje się pod,
lub cała nad osią OX, a skoro ma jedną wartość ujemną, to musi cała znajdować się pod osią OX, czyli dla dowolnego argumentu x mamy f(x)<0. Z kolei a3c2+abc+c = f(ac), więc f(ac) < 0.
Zad. 2. Odbijmy punkt B symetrycznie względem prostej m, otrzymując punkt C. Z nierówności trójkąta wiemy, że dla każdego punktu P z prostej m mamy |AP|–|BP| = |AP|–|CP| ≤ |AC|. To maksimum jest przyjmowane, gdy wybierzemy punkt P w przecięciu prostej AC z prostą m. Problem może wystąpić, jeżeli AC jest równoległa do m. Wówczas punkt spełniajacy warunki zadania nie istnieje.
Zad. 3. Podzielmy z resztą wielomian W przez wielomian (x–a)(x–b). Otrzymamy w ilorazie wielomian P i resztę R, przy czym stopień R jest mniejszy niż 2, czyli R(x) = mx + n (i m może być zerem). Wówczas W(a) = ma+n i W(b) = mb+n, czyli b = ma+n i a = mb+n. Rozwiązując ten układ równań, otrzymujemy m = -1 i n = a+b. Podstawiamy W(x) = (x–a)(x–b)P(x)–x+(a+b) i mamy W(a+b) = abP(a+b), czyli ab | W(a+b), cnd.
