Wartość bezwzględna

Oznaczenie

Wartość bezwzględną liczby a oznaczamy symbolem |a|.
W kalkulatorach i komputerach stosuje się oznaczenie abs (a), co jest skrótem od angielskiej nazwy absolute value, oznaczającym właśnie wartość bezwzględną.
O tym, dlaczego w kalkulatorach i komputerach nie można stosować zapisu z kreskami, przeczytasz w tekście Kłopoty z wartością bezwzględną.

Co to jest?

O wartości bezwzględnej można myśleć jako o pewnymdziałaniu na liczbach. Jest ono jednak nietypowe, bo wykonywane na jednej liczbie, a nie na dwóch jak np. dodawanie. Działanie to polega na "zapominaniu" znaku liczby.

przykłady

|5| = 5          |-5| = 5
|2,5| = 2,5    |-2,5|=2,5

Ogólnie mówiąc:

[TEX]|a|=\left\{\begin{array}{rcl}a,&\mbox{gdy}&a\geq 0\\-a,&\mbox{gdy}&a<0\end{array}\right.[/TEX]

Interpretacja geometryczna

Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej.
Wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb, to ich odległość na osi liczbowej.

Własności

• wartość bezwzględna każdej liczby jest nieujemna (czyli dodania lub równa zero), tzn.
  |a|≥ 0

• wartość bezwzględna jest zerem tylko dla zera, tzn.
  |a|=0 ≡ a=0

• wartości bezwzględne liczb przeciwnych są równe, np. |7|=|-7|=7, a ogólnie
  |a|=|-a|  oraz  |a - b| = |b - a|

• każda liczba jest nie większa od swojej wartości bezwzględnej i nie mniejsza od liczby przeciwnej do swojej wartości bezwzględnej, tzn.
  -|a| ≤ a ≤ |a|

• wartość bezwzględna iloczynu / ilorazu dwóch liczb jest równa iloczynowi / ilorazowi ich wartości bezwzględnych, tzn.
  |a · b|=|a| · |b|  oraz [tex]\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}[/tex] (dla b≠0)
  czyli wartość bezwzględną możemy rozdzielić na oba czynniki w mnożeniu oraz na licznik i mianownik w ułamku

• wartość bezwzględna sumy / różnicy dwóch liczb nie jest równa sumie / różnicy ich wartości bezwzględnych, tzn.
  |a + b| ≠ |a| + |b|  oraz  |a - b| ≠ |a| - |b|
  czyli wartości bezwzględnej nie możemy rozdzielić na składniki w dodawaniu ani na odjemną i odjemnik w odejmowaniu
  przykłady
  3 = |5 + (-2)| ≠ |5| + |-2| = 7
  7 = |5 - (-2)| ≠ |5| - |-2| = 3

• równość |a + b| = |a| + |b| zachodzi tylko wtedy, gdy liczby a i b są tego samego znaku
  przykłady
  |5 + 3| = |5| + |3|
  |(-5) + (-3)| = |(-5)| + |(-3)|

• zawsze zachodzą nierówności |a + b| ≥ |a| + |b|  oraz  |a - b| ≤ |a| + |b|.
  przykłady
  8 = |8| = |5 + 3| ≥ |5| + |3| = 5 + 3 = 8, czyli 8 ≥ 8
  8 = |-8| = |(-5) + (-3)| ≥ |(-5)| + |(-3)| = 5 + 3 = 8, czyli -8 ≥ 8
  8 = |8| = |11 - 3| ≤ |11| + |3| = 11 + 3 = 14, czyli 8 ≤ 14
  8 = |-8| = |(-5) - 3| ≤ |(-5)| + |3| = 5 + 3 = 8, czyli 8 ≤ 8

Proste równania z wartością bezwzględną

1. |x| = a

• dla a>0   rozwiązaniem równania jest a lub -a
• dla a=0   rozwiązaniem równania jest liczba 0
• dla a<0   rozwiązaniem równania jest zbiór pusty

przykłady

• |x| = 17             rozwiązaniem jest x = 17 lub x = -17
• |x| = -17            rozwiązaniem jest zbiór pusty
• |x| = 0               rozwiązaniem jest liczba 0

Proste nierówności z wartością bezwzględną

1. |x| > a

• dla a ≥ 0   rozwiązaniem jest zbiór (-∞, -a) [tex]\cup[/tex] (a, ∞)
• dla a < 0   rozwiązaniem jest zbiór R

2. |x| ≥ a

• dla a > 0   rozwiązaniem jest zbiór (-∞, -a] [tex]\cup[/tex] [a, ∞)
• dla a ≤ 0   rozwiązaniem jest zbiór R

3. |x| < a

• dla a > 0   rozwiązaniem jest przedział (-a, a)
• dla a ≤ 0   rozwiązaniem jest zbiór pusty

4. |x| ≤ a

• dla a > 0   rozwiązaniem jest przedział [-a, a]
• dla a = 0   rozwiązaniem jest liczba 0
• dla a < 0   rozwiązaniem jest zbiór pusty

przykłady

• |x| ≤ 17           rozwiązaniem jest przedział [-17, 17]
• |x| ≥ 17           rozwiązaniem jest zbiór (-∞, -17] [tex]\cup[/tex][17, ∞)
• |x| ≤ -17          rozwiązaniem jest zbiór pusty
• |x| ≥ - 17         rozwiązaniem jest zbiór R
• |x| ≤ 0             rozwiązaniem jest liczba 0