Równania kwadratowe z jedną niewiadomą

Poniżej opisujemy, jak rozwiązywać równania kwadratowe z jedną niewiadomą. Przegląd różnych przypadków zaczynamy od najprostszych i przechodzimy do najbardziej ogólnych.

•  x² = 0
  Jedyna liczba, której kwadrat jest zerem, to zero. Zatem równanie ma jeden pierwiastek równy 0. Rozwiązaniem równania jest zbiór jednoelementowy {0}.

• x² = a    (a≠0)
  Jeśli a jest ujemne, otrzymujemy równanie sprzeczne, które nie ma pierwiastków (tzn. nie spełnia go żadna liczba, bo przecież kwadrat żadnej liczby nie jest ujemny). Rozwiązaniem tego równania jest zbiór pusty.
  Jeśli a jest dodatnie, to równanie ma dwa pierwiastki: √a oraz -√a (bo obie te liczby podniesione do kwadratu dają a, czyli spełniają równanie). Rozwiązaniem równania jest zbiór dwuelementowy {√a, -√a}.
• ax² = 0
  Jeśli a=0, otrzymujemy równanie tożsamościowe 0 = 0, które spełniają wszystkie liczby rzeczywiste. Rozwiązaniem tego równania jest zbiór R.
  Jeśli a≠0, możemy obie strony równania podzielić przez a i otrzymamy równanie równoważne x² = 0, a to równanie już potrafimy rozwiązać.
• ax² = b   (b≠0)
  Jeśli a=0, otrzymujemy równanie sprzeczne 0 = b, które które nie ma pierwiastków (tzn. nie spełnia go żadna liczba, bo zero nie jest równe żadnej liczbie dodatniej). Rozwiązaniem tego równania jest zbiór pusty. 
• ax²+bx = 0   (a, b ≠ 0)
  Z obu wyrazów po lewej stronie wyciągamy przed nawias czynnik ax i otrzymujemy równanie równoważne ax·(x + ^b/_a) = 0. Iloczyn dwóch liczb jest zerem, wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z tych liczb jest zerem. Równanie jest więc równoważne alternatywie dwóch warunków: ax = 0 lub x + ^b/_a = 0, czyli x = 0 lub x = - ^b/_a. Alternetywa równań spełniona przez dwie liczby 0 i - ^b/_a, które są także pierwiastkami wyjściowego równania. Rozwiązaniem tego równania jest więc zbiór dwuelementowy {0, - ^b/_a}.
• ax²+bx +c = 0   (a, b, c ≠ 0)
  To najbardziej ogólna postać równania kwadratowego. Takie równanie można rozwiazać różnymi metodami. Poniżej prezentujemy kilka sposobów.

metoda uzupełnienia do kwadratu

Polega na takim uzupełnieniu obu stron równania stałą, aby po jednej ze stron uzyskać wyrażenie x²+2bx+b², które ze wzoru skróconego mnożenia można przedstawić jako kwadrat, mianowicie (x+b)².

Prześledzimy to na przykładzie.
2x²-6x+2 = 0
Upraszczamy równanie, dzieląc obie jego strony przez 2. Otrzymujemy
x²-3x+1 = 0  lub równoważnie  x²-2·³/₂x+1 = 0.
Teraz wykonujemy uzupełnienie do kwadratu, dodając do obu stron równania liczbę ⁹/₄.
x²-2·³/₂x+1+9/4 = 9/4
x²-2·³/₂x+9/4 = 9/4-1
Stosujemy wzór skróconego mnożenia, otrzymując kwadrat po lewej stronie równania.
(x-³/₂)² = 5/4
Stąd mamy natychmiast
x-³/₂ = √5/2  lub  x-³/₂ = -√5/2,
czyli
x = (√5+3)/2  lub  x = (-√5+3)/2.
Wyjściowe równanie ma zatem dwa pierwiastki: (√5+3)/2  i  (-√5+3)/2.

metoda wyróżnika (delty)

Dla równania kwadratowego postaci ax²+bx +c = 0 obliczamy wyróznik tego równania oznaczany Δ (czytaj: delta) ze wzoru Δ  = b²-4ac. Następnie bezpośrednio ze wzorów obliczamy pierwiastki równania.

• Jeśli Δ < 0, równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych. Jego rozwiązaniem jest zbiór pusty Ø.
• Jeśli Δ = 0, równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty równy -b/2a.
• Jeśli Δ > 0, równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste równe [tex]\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex] oraz [tex]\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex].

Dla przykładu rozwiążmy równanie.
2x²-6x+2 = 0
Upraszczamy je, dzieląc obie strony przez 2. Otrzymujemy x²-3x+1 = 0.
Δ = 3²-4 = 5 >0, zatem równanie ma dwa pierwiastki równe (3+√5)/2  i  (3-√5)/2.

Uwaga. Korzystając z tej metody, możemy rozwiązywać równania kwadratowe także w liczbach zespolonych w przypadku  Δ <0, wyciągając pierwiastki kwadratowe z ujemnego wyróżnika.

Dla przykładu rozwiążmy równanie.
2x²+4x+6 = 0
Upraszczamy je, dzieląc obie strony przez 2. Otrzymujemy x²+2x+3 = 0.
Δ = 2²-4·3 = -8 < 0, zatem równanie ma dwa pierwiastki równe [tex]\frac{-2+\sqrt{-8}}{2}[/tex] oraz [tex]\frac{-2-\sqrt{-8}}{2}[/tex]. Są to dwie liczby zespolone równe odpowiednio  -1+√2i  oraz  -1-√2i.

metoda wzorów Viète'a

Korzystamy ze wzorów na sumę i iloczyn pierwiastków równania, które są wyrażone za pomocą współczynników tego równania. Dla równania ax²+bx +c = 0 zachodzą bowiem zależności (nazywane wzorami Viète'a) x₁+x₂ = -b/a oraz x₁·x₂ = c/a. Na podstawie tych wzorów dla niewielkich i całkowitych pierwiastków możemy natychmiast odgadnąć ich wartości. 

Sprawdźmy to na przykładzie równania.
x²+5x+6 = 0
Podstawiamy wartości współczynników do wzorów Viète'a, otrzymując x₁+x₂ = -5 oraz x₁·x₂ = 6. Teraz stawiamy sobie pytanie: suma jakich liczb wynosi -5, a ich iloczyn 6? Odpowiedź nasuwa się od razu: -2 i -3. Można sprawdzić, że obie te liczby są pierwiastkami wyjściowego równania.

pierwiastki całkowite

• Jeśli równanie kwadratowe postaci  x²+bx +c = 0 o całkowitych współczynnikach ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem współczynnika c.
• Jeśli w równaniu kwadratowym postaci  ax²+bx +c = 0 o całkowitych współczynnikach suma tych współczynników wynosi 0 (tzn. a+b+c=0), to pierwiastkiem równania jest liczba 1.
• Jeśli w równaniu kwadratowym postaci  ax²+bx +c = 0 o całkowitych współczynnikach naprzemienna suma tych współczynników wynosi 0 (tzn. -a+b-c=0), to pierwiastkiem równania jest liczba (-1).

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Rozwiąz równania.

1) 7x² = 0   rozw. {0}

2) x² = 9   rozw. {-3, 3}

3) x² = 3   rozw.{-√3, √3}

4) 7x² = 14  row. {-√2, √2}

5) 7x² = 3   rozw. {-√³/₇, √³/₇}

6) 2x²+4x = 0   rozw. {0, -2}

7) 4x²-1 = 0   rozw. {¹/₂, -¹/₂}

8) x²+2x+1 = 0   rozw. {-1}

9) 7x²-x-8=0   rozw. {-1

10) 2x²-7x+5 = 0 rozw. {1, 2.5}

Rozwiąż równania metodą uzupełnienia do kwadratu.

11) x²+4x+2 = 0   rozw. {2-√2, 2+√2}

12) x²+6x+8 = 0

13) 2x²+20x+50 = 0

Rozwiąż równania metodą wyróżnika w liczbach rzeczywistych lub zespolonych. 

14) 4x²+4x+1=0

15) 6x²+4x+2 = 0

16) -2x²+3x-1 = 0

Rozwiąż równania, wykorzystując wzory Viète'a i odgadując całkowite pierwiastki.

17) x²-5x-6 = 0   rozw. {-1, 6}

18) x²-x-30 = 0