Graniastosłupy i antygraniastosłupy

Johannes Kepler jako pierwszy zwrócił uwagę na fakt, że oprócz wielościanów platońskich i archimedesowych istnieje jeszcze nieskończenie wiele wypukłych wielościanów o foremnych ścianach i przystających wierzchołkach. Jedną rodzinę tworzą dobrze znane wszystkim graniastosłupy prawidłowe, których wszystkie krawędzie mają tą samą długość. W każdym wierzchołku takiej bryły spotyka się jedna podstawa i dwie (będące kwadratami) ściany boczne.

Nieco mniej znaną rodzinę tworzą antygraniastosłupy prawidłowe. Często antygraniastosłupy nazywane są graniastosłupami skręconymi - ta nazwa objaśnia ich wygląd. W "zwyczajnym" graniastosłupie prawidłowym podstawy są nie tylko równoległe, ale odpowiednie ich wierzchołki leżą "jeden nad drugim" (mówiąc trochę precyzyjniej: rzuty prostopadłe wierzchołków górnej podstawy na dolną pokrywają się z wierzchołkami dolnej podstawy). Można jednak jedną z podstaw skręcić o odpowiedni kąt i połączyć wierzchołki tak ułożonych wielokątów krawędziami. Wówczas ściany boczne będą trójkątami (przy skręcaniu graniastosłupa, mówiąc obrazowo, ściany boczne "złamią się" wzdłuż przekątnych). Przy odpowiednio dobranej odległości między podstawami trójkąty te będa równoboczne, a cała bryła będzie półforemna. Zatem w każdym wierzchołku antygraniastosłupa schodzi się jedna podstawa i trzy ściany boczne.

Warto w tym miejscu wspomnieć, że jedna z brył platońskich jest graniastosłupem, a inna antygraniastosłupem. Jakie to bryły?

Tutaj możesz znaleźć siatki kilku graniastosłupów i antygraniastosłupów.

Graniastosłupy i antygraniastosłupy mają swoje odpowiedniki wśród wielościanów niewypukłych. Podstawami takich brył są wielokąty gwiaździste, a ściany boczne nadal są odpowiednio kwadratami lub trójkątami, tyle że przenikającymi się wzajemnie. Mimo stosunkowo ubogiej symetrii, bryły te mają swój urok. Poniżej przedstawiam kilka zdjęć modeli brył z tych rodzin. Różne kolory zastosowane dla różnych ścian ułatwiają zaobserwowanie ich przenikania.

Drugie zdjęcie przedstawia graniastosłupy gwiaździste siedmiokątne prawidłowe (dlaczego są różne?), a trzecie - analogiczne antygraniastosłupy. Nazwij pozostałe.

Rysunki brył prezentowane wyżej zostały wyeksportowane z programu Great Stella.

 ------------------------------------------------------------

W  2017 roku w Szkoła Podstawowa nr 99 we Wrocławiu zorganizowała konkurs dla klas VI i VII na wykonanie modelu graniastosłupa. Wzięli w nim udział uczniowie z pięciu zaprzyjaźnionych szkół. W międzyszkolnym finale uczniowie uczniowie pisali test z wiedzy o graniastosłupach. Ponizej prezentujemy nagrodzone prace.

Magdalena Marczuk (nauczycielka z SP 99)