Zad. 1. Jak zmieniłoby się zasolenie oceanów, gdyby nagle stopiły się lody Antarktydy? Podaj przyjęte założenia i rachunki.
Zad. 2. Teoria mówi, że dla n rosnącego do nieskończoności wyrazy ciągu an = 10n2/1,001n zbiegają do zera (bo ciąg wykładniczy w mianowniku rośnie znacznie szybciej niż ciąg kwadratowy w liczniku).
a) Znajdź n, dla którego wartość an spada poniżej jedynki.
b) Określ monotoniczność ciągu an i znajdź n (o ile istnieje), dla którego wartość an jest ekstremalna.
Zad. 3. W grze Lotto skreśla się 6 liczb z 49. Ile kuponów należy wypełnić, aby mieć pewność, że trafimy co najmniej jedną trójkę? Przedstaw rachunki i krótko uzasadnij odpowiedź.
Przedostatni zestaw w tej edycji Ligii sprawił sporo trudności. W zadaniu 1 brakowało części założeń lub rachunków. W zadniu 2 n oznacza liczbę naturaną i taka powinna być odpowiedź. Optymalne rozwiązanie zadania 3 warto było poprzeć jakimś źródłem.
Rozkład zdobytych punktów prezentuje się następująco:
- 3 pkt. - Krystyna Lisiowska - redaktor z Warszawy,
- 2 pkt. - Krzysztof Danielak - student automatyki i robotyki na PWr, Andrzej Piasecki - administrator IT z Oleśnicy,
- 1 pkt. - Dominik Zygmunt - student bankowości i finansów cyfrowych na UŁ.
Czołówka Ligi przedstawia się nastęująco:
- 22,5 pkt. - Krystyna Lisiowska
- 21 pkt. - Andrzej Piasecki
- 17,75 pkt. - Dominik Zygmunt
- 17 pkt. - Krzysztof Danielak
- 7,75 pkt. - Adam Wrzesiński
Zad. 1. Przyjmijmy następujące założenia:
- objętość wszystkich oceanów: 1,3 mld km3
- średnie zasolenie oceanów: 3,5%
- waga 1 l wody słodkiej: 1kg
- waga 1 l wody słonej: 1,025kg
- gęstość lodu: 0,918 g/cm³ = 918 kg/m³ = 918 mln t/km³
- objętość lodu Antarktydy: 26,5 mln km3
Objętość tę można było też obliczyć jako iloczyn powierzchni Antarktydy i jej średniej grubości pokrywy lodowej.
Po stopieniu lodu na Antarktydzie (który tworzy wodą słodka) ilość soli w oceanach się nie zmieni, wzrośnie jedynie ilość wody. Nowe zasolenie wyniesie 3,44%, co oznacza, że zasolenie oceanów zmniejszy się o 0,06 punktu procentowego
Zad. 2. Korzystając na przykład z Wolframa Alpha, otrzymamy:
a) Wartość ciągu spada poniżej 1 dla n = 22 343.
b) Ciąg najpierw rośnie, osiągając maksimum równe 5 418 825.19 dla n = 2001, a następnie maleje do zera.
Zad. 3. Najbardziej pesymistyczną jest sytuacja, w której wypełniając kupony, zaczniemy skreślać liczby, które nie padną, póżniej trafimy wszystkie jedynki i dwójki z sześciu. Takich kuponów musimy skreślić aż 13 723 192. Dopiero 13 723 193. kupon zapewniałby trafienie przynajmniej trójki. Ale to nie jest podejście optymalne, bo liczby skreślamy na chybił trafił, a powinniśmy skreślać je w taki sposób, aby w jak najkrótszym ciągu liczb o wartościach od 1 do 49 uzyskać wystąpienie każdej trójki liczb. Chodzi tu o wystąpienie zbioru trzech liczb, a nie ciągu trzech liczb (takie zagadnienie rozstrzygałyby ciągi de Bruijna). Korzystając z teorii grafów, algorytmów zachłannych i algorytmów pokryciowych można uzyskać jako optymalne rozwiązanie liczbę 163 kuponów dającą pewność trafienia co najmniej trójki. Rozwiązanie tego problemu podali roku Dragan Stojiljkovic i Rade Belic (tu jest zestawienie wyników patrz 49-6-3-6). Inne podejście (dające jednak słabsze oszacowanie ok. 700) można znaleźć w pracy The Lottery Problem Alewyna Burgera, Wernera Gründlingha i Jana van Vuurena z 2003 roku.
