Zad. 1. Piłka futbolowa uszyta jest z łatek sześciokątnych i pięciokątnych. Łącznie ma 32 łatki. Ile jest łatek białych a ile czarnych? Ile wierzchołków i krawędzi ma wielościenny model piłki nożnej? Odpowiedź uzasadnij.
Zad. 2. Liczba A ma 2006 cyfr i jest podzielna przez 9. Liczba B jest sumą cyfr liczby A. Liczba C jest sumą cyfr liczby B. Jaka jest suma cyfr liczby C?
Zad. 3. Jedną wysokość i długości trzech boków pewnego trójkąta uporządkowano rosnąco i otrzymano ciąg: 12, 13, 14, 15. Oblicz pole tego trójkąta.
W lutym punkty zdobyli:
- 3 – Nadia Dymkowska SP 50 Wrocław, Anna Frankowska SP 139 Warszawa, Antoni Grębowiec SP 44 Wrocław, Aleksander Masztalski SP 3 Mikołów, Szymon Michalik SP 3 Przymierza Rodzin Warszawa, Karolina Piątkowska SP 16 Wrocław, Alicja Picińska SP 64 Wrocław, Yaraslau Sialiuk SP 82 Wrocław;
- 2,5 – Aleksandra Pniaczek SP 50 Wrocław, Barbara Podoba SP 2 Tomaszów Lubelski;
- 2 – Gabriela Pułecka SP 2 Brzeg Dolny, Julia Strzelecka SP 50 Wrocław, Krzysztof Pajek SP 50 Wrocław, Ignacy Włodarski SP 36 Wrocław;
- 1 – Eliza Banaszkiewicz SP Strzelce, Ewa Nowakowska SP Strzelce.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Przyjmijmy, ze liczba łatek białych jest równa x. Wtedy liczba łatek czarnych jest równa 32–x. Liczba krawędzi pomiędzy łatkami białymi i czarnymi jest równa 3x, ponieważ każda łatka biała graniczy z trzema łatkami czarnymi. Stąd dostajemy równanie 3x = 5(32–x), z którego otrzymujemy x=20. Zatem piłka uszyta jest z 20 łatek białych i 12 łatek czarnych. Liczba wierzchołków jest równa liczbie wierzchołków łatek czarnych, czyli 12.5=60. Zauważmy, że dwie sąsiednie łatki białe mają wspólną krawędź, zatem liczba krawędzi jest równa 12.5+1/2.20.3 = 90.
Zad. 2. Zauważmy, że dodatnia liczba całkowita dzieli się przez 9 wtedy i tylko wtedy, gdy suma cyfr tej liczby dzieli się przez 9. Skoro liczba A ma 2006 cyfr, to liczba B, jako suma cyfr liczby A, spełnia nierówność B ≤ 2006.9 = 18054. Jest to również liczba podzielna przez 9. Zatem liczba C, jako suma cyfr liczby B, spełnia nierówność C ≤ 5.9 = 45 i jest liczbą podzielną przez 9. W zbiorze {1, 2, 3, …, 44, 45} największą sumę cyfr ma liczba 39. Zatem suma cyfr liczby C nie przekracza 12 i jest liczbą podzielną przez 9. Jedyną taką liczbą jest liczba 9.
Zad. 3. Przeanalizujmy dwie możliwości przedstawione na rysunkach poniżej (spodek wysokości znajduje się wewnątrz podstawy lub na jej przedłuzeniu). Wysokość dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnej h, zatem h<a i h<b=12, wtedy a∈{13, 14, 15}. Z twierdzenia Pitagorasa wyliczamy, że x i y mogą być jedynie liczbami [tex] \sqrt{13^2-12^2}=5[/tex], [tex] \sqrt{14^2-12^2}=2\sqrt{13}[/tex] lub [tex] \sqrt{15^2-12^2}=9[/tex]. Ani x, ani y nie mogą być równe [tex] 2\sqrt{13}[/tex], gdyż c=x+y albo c=|y–x| nie byłoby liczbą całkowitą. Stąd c=5+9=14 albo c=|9–5|=4. Ta druga opcja nie może zajść, gdyż c jest jedną z liczb 12, 13, 14, 15. Zatem pole trójkąta wynosi P = 1/2.14.12 = 84. Gdybyśmy przyjęli, że h=13, wtedy mamy a=14, b=15 lub odwrotnie, zatem c=12. Wtedy [tex] c=\sqrt{14^2-12^2}+ \sqrt{14^2-13^2} >7+5=12[/tex] albo [tex] c=\sqrt{15^2-13^2}+ \sqrt{14^2-13^2}<8-5=3[/tex]. Obie te ewentualności nie mogą zajść. Pole trójkąta jest więc równe 84.
