można przesuwać niektóre punkty lub powiększać/zmniejszać obrazki (kółkiem myszki).
Rysunki utworzone są za pomocą programu C.a.R. Dziękujemy Rene Grothmannowi.
W przypadku, gdy któreś z rysunków nie wyświetlą się, należy 'odświeżyć stronę'. Cierpliwości!
Na poniższych rysunkach przypominamy, jakie warunki opisują krzywe: parabolę, elipsę i hiperbolę.
(Punkt X jest zależny od punktu X', zmieniaj położenie X'.)
W przypadku paraboli symbol odl oznacza odległość punktu od prostej.
Niech ten sam symbol odl(X, A) oznacza ogólnie odległość punktu od figury.
Wtedy o tych samych równaniach można myśleć w szerszym sensie. Zobaczmy.
Oznaczenia.
Dla figur A, B i liczby c przyjmijmy następujące oznaczenia:
Par( A, B ) = figura złożona z takich punktów X, że
odl(A, X) = odl(X, B) ,
Eli( A, B, c ) = figura złożona z takich punktów X, że
odl(A, X) + odl(X, B) = c ,
Hip( A, B, c ) = figura złożona z takich punktów X, że
odl(A, X) - odl(X, B) = c .
Niemal nic nie trzeba wiedzieć - poza własnościami odległości - by zobaczyć, że zachodzą poniższe wzory:
Par( B, A ) = Par( A, B ) ,
Eli( B, A, c ) = Eli( A, B, c ) ,
Hip( B, A, c ) = Hip( A, B, - c ) ,
Hip( A, B, 0 ) = Par( A, B ) ,
jeśli A = B , to Par( A, B ) = wszystko (cała płaszczyzna),
Eli( A, B, 0 ) = część wspólna figur A i B (dla figur domkniętych).
Zajmijmy się jednak geometrią.
Problem P
Wyznacz kształt figury
Par(A, B),
w zależności od A, B, gdzie A, B jest parą figur z kolekcji wszystkich punktów, prostych i okręgów.
Dla niektórych par A, B bardzo łatwo podać odpowiedź, np. gdy A, B są prostymi równoległymi, to Par(A, B) jest prostą równoległą do nich, leżącą w połowie odległości między nimi.
Gdy proste A, B przecinają się, to Par(A, B) jest sumą dwusiecznych kątów, jakie tworzą te proste.
Ciekawsze przypadki (bo trudniejsze) są opisane poniżej.
Przykładowe rozwiązania podajemy w podpunktach a) i b). Podaj sam rozwiązania pozostałych.
| a) okrąg, punkt | b) okrąg, punkt |
| c) dwa okręgi | d) dwa okręgi |
| e) dwa okręgi | f*) prosta i okrąg |
Bardzo podobne rozwiązania mają poniższe problemy. Najciekawsze (bo najtrudniejsze) są przypadki prosta - okrąg. Sprawdź.
Problem E
Wyznacz kształt figury Eli(A, B, c),
w zależności od A, B, c, gdzie A, B jest parą figur z kolekcji wszystkich punktów, prostych i okręgów, a c jest liczbą dodatnią.
Problem H
Wyznacz kształt figury Hip(A, B, c),
w zależności od A, B, c, gdzie A, B jest parą figur z kolekcji wszystkich punktów, prostych i okręgów, a c jest liczbą.
