Liczby naturalne

Co to są liczby naturalne?

Wie to każde dziecko, bo właśnie od liczb naturalnych rozpoczyna poznawanie matematyki i naukę liczenia. Liczby naturalne to 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,..., 17, ..., 117, ..., 1177, ..., 111111117, ... itd. Można wymieniać je bez końca, bo jest ich nieskończenie wiele (ponieważ w matematyce istnieją różne nieskończoności, mówimy dokładniej, że jest ich przeliczalnie wiele).

Liczby naturalne służą do liczenia i numerowania obiektów. Pełnią dwie funkcje:

• mówią, ile elementów jest w danym zbiorze (tzn. określają liczności zbiorów skończonych),

• mówią, który jest dany element w ciągu (tzn. określają porządek w zbiorach skończonych i przeliczalnych).

Zbiór liczb naturalnych oznaczamy literą N.

Czy zero jest naturalne?

Wśród matematyków nie ma jednoznacznej umowy, czy zero jest liczbą naturalną, czy nie. Czasem wygodnie jest definiować liczby naturalne z zerem, a innym razem bez zera. Dlatego jeśli chcemy wyraźnie zaznaczyć, że wśród rozważanych liczb znajduje się zero, piszemy N$\cup${0}, a jeśli chcemy zaznaczyć, że zera wśród nich nie ma, piszemy N⁺ lub N\{0}.

Przykłady i kontrprzykłady:

Poniżej zamieszczamy kilka wypowiedzi, które zawierają różne określenia ilości. Niektóre z nich są liczbami naturalnymi, a inne nie.

• "W poniedziałek Jola ma 6 lekcji." - 6 jest liczbą naturalną, bo zbiór może mieć 6 elementów, a element ciągu może być szósty w kolejce.
• "W kilogramie mieści się kilka jabłek."  - kilka nie jest precyzyjnie określoną liczbą, tym bardziej nie może być liczbą naturalną.
• "Gdy posadzimy po 5 drzew w każdym z 7 rzędów, to otrzymamy 35 drzew." - 5, 7 i 35 są liczbami naturalnymi.
• "Na stole leży pół jabłka." - pół lub ¹/₂ nie jest liczbą naturalną, bo zbiór nie może mieć pół elementu, a element nie może mieć w kolejce miejsca o numerze "pół".
• "Zostawiłem samochód na (-5) poziomie podziemnego garażu." - (-5) nie jest liczbą naturalną, bo zbiór nie może mieć minus pięciu elementów, a element nie może zajmować w kolejce miejsca o numerze (-5).
• "Stosunek długości krawędzi zeszytu formatu A4 wynosi √2." - √2 nie jest liczbą naturalną, bo zbiór nie może mieć √2 elementów, a element nie może zajmować w kolejce miejsca o numerze √2. 
• "Na niebie świecą miriady gwiazd." - miriada lub inaczej 10 000 jest liczbą naturalną.
• "Ale tu ludzi, jest ich chyba milion pięćset sto dziewięćset." - 1 000 000, 500, 100, 900 to są liczby naturalne, ale "milion pięćset sto dziewięćset" nie jest poprawną nazwą żadnej liczby naturalnej.
• "Nic nie zostało już z obiadu." - nie ma jednoznacznego ustalenia, czy nic lub zero jest liczbą naturalną, czy nie; co prawda istnieje zbiór, który ma zero elementów (jest to zbiór pusty), ale element nie może zająć zerowego miejsca w kolejce; to czy zero jest naturalne, czy nie, pozostaje bez rozstrzygnięcia.

Tylko dla dorosłych

Szkolne definicje zbioru liczb naturalnych nie są zbyt formalne i precyzyjne, ale i tak każdy wie, o jakie liczby chodzi. Jednak w matematyce niemal wszystkie pojęcia muszą być precyzyjnie zdefiniowane. Dlatego istnieją też bardziej formalne definicje liczb naturalnych.

Definicja indukcyjna. Zbiór liczb naturalnych to najmniejszy (w sensie relacji zawierania) zbiór liczbowy spełniający następujące warunki:

• jeden należy do tego zbioru,
• jeżeli n należy do tego zbioru, to należy do niego również n+1.

Innymi słowy liczby naturalne są częścią wspólną wszystkich zbiorów liczbowych spełniających oba powyższe warunki.

Definicja aksjomatyczna Peana. Liczby naturalne spełniają następujące warunki:
1. Jeden jest liczbą naturalną.
2. Jeżeli n jest liczbą naturalną, to n+1 też jest liczbą naturalną.
3. Jeżeli n jest liczbą naturalną, to n+1 nie jest jedynką.
4. Jeżeli n i m są liczbami naturalnymi oraz n+1 = m+1, to n = m.
5. Jeżeli Z jest dowolnym zbiorem takim, że 1$\in$Z oraz dla dowolnego n zachodzi $(n\in Z\Rightarrow n+1\in Z)$, to każda liczba naturalna należy do Z. 

Najważniejsze twierdzenia o liczbach naturalnych

Zasadnicze twierdzenie arytmetyki. Każda liczba naturalna różna od 1 ma jednoznaczny rozkład na czynniki pierwsze (z dokładnością do kolejności tych czynników).

Małe twierdzenie Fermata.

Twierdzenie o resztach kwadratowych.

Chińskie twierdzenie o resztach.

Podzbiory liczb naturalnych

Wśród liczb naturalnych wyróżniamy m. in. następujące podzbiory: 

• pierwsze
• złożone
• parzyste
• nieparzyste
• semipierwsze
• doskonałe
• bliźniacze
• izolowane
• kwadratowe 
• bezkwadratowe
• trójkątne
• wielokątne 
• sześcienne
• piramidalne

Dwie liczby naturalne mogą być:

• względnie pierwsze
• zaprzyjaźnione