Działania na ułamkach zwykłych

Poniższe przykłady pokazują zasady wykonywania działań na ułamkach zwykłych. Z definicją i własnościami ułamków można zapoznać się tutaj.

ZMIANA SPOSOBU ZAPISANIA UŁAMKA

Wyłączanie całości

Ułamek, którego licznik jest większy niz mianownik nazywamy niewłaściwym. Taki ułamek możemy przedstawić w postaci liczby mieszanej, która składa się z części całkowitej i części ułamkowej będącej ułamkiem właściwym. Aby wyłączyć całości, musimy obliczyć, ile razy mianownik mieści sie w liczniku ułamka niewłaściwego - to jest część całkowita, a resztę z tego dzielenia wpisać jako licznik części ułamkowej, zaś mianownik zostawić bez zmian.

Przykłady

• $\frac{17}{2}=8\frac{1}{2}$, bo 17:2 = 8 reszta 1

Rozszerzanie i skracanie ułamków

Każdy ułamek ma nieskończenie wiele różnych form zapisu przedstawiających tę samą liczbę, np.

• $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{5}{10}=\frac{17}{34}$= ...,
• 2 = $\frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{10}{5}=\frac{34}{17}$= ...,
• $\frac{2}{5}=\frac{4}{10}=\frac{12}{30}=\frac{10}{50}$=...

Rozszerzanie danego ułamka to zapisane tej samej liczby w postaci ułamka o większym mianowniku niż dany. Skracanie ułamka to zapisanie tej samej liczby w postaci ułamka o mniejszym mianowniku niż dany.

Aby rozszerzyć ułamek należy jego licznik i mianownik pomnożyć przez tę samą liczbę naturalną (różną od zera). Każdy ułamek można rozszerzyć na nieskończenie wiele sposobów.

Przykłady

• $\frac{2}{7}=\frac{2\cdot3}{7\cdot3}=\frac{6}{21}$ (ułamek $\frac{2}{7}$ rozszerzony przez 3 to $\frac{6}{21}$)
• $\frac{2}{7}=\frac{2\cdot5}{7\cdot5}=\frac{10}{35}$ (ułamek $\frac{2}{7}$ rozszerzony przez 5 to $\frac{10}{35}$)
• $\frac{2}{7}=\frac{2\cdot7}{7\cdot7}=\frac{14}{49}$ (ułamek $\frac{2}{7}$ rozszerzony przez 7 to $\frac{14}{49}$)

Aby skrócić ułamek należy jego licznik i mianownik podzielić przez tę samą liczbę naturalną (różną od zera). Jeśli licznik i mianownik nie mają wspólnych dzielników poza 1, ułamka nie da się skrócić w liczbach całkowitych. Taki ułamek nazywamy nieskracalnym. Dla każdej liczby ułamek nieskracalny jest tylko jeden.

Przykłady

• $\frac{2}{7}$ jest ułamkiem nieskracalnym
• $\frac{7}{14}=\frac{7:7}{14:7}=\frac{1}{2}$ (ułamek $\frac{7}{14}$ skrócony przez 7 to $\frac{1}{2}$ i ten jest nieskracalny)
• $\frac{18}{24}=\frac{18:3}{24:3}=\frac{6}{8}$ (ułamek $\frac{18}{24}$ skrócony przez 3 to $\frac{6}{8}$ i ten można dalej skrócić przez 2)
• $\frac{18}{24}=\frac{18:6}{24:6}=\frac{3}{4}$ (ułamek $\frac{18}{24}$ skrócony przez 6 to $\frac{3}{4}$ i ten jest nieskracalny)

A teraz spróbuj sam:

PORÓWNYWANIE UŁAMKÓW

Sprytne sposoby porównywania niektórych ułamków

1) Łatwo porównuje się ułamki o jednakowych mianownikach: ten z nich jest większy, który ma większy licznik. Części całości opisane tymi ułamkami są jednakowe, a im więcej tych części weźmiemy, tym więcej w sumie dostaniemy.

Przykłady

• $\frac{1}{5} < \frac{3}{5}$ (3 części piąte to więcej niż 1 część piąta)
• $\frac{6}{11} > \frac{5}{11}$ (6 części jedenastych to więcej niż 5 części jedenastych)

2) Łatwo porównuje się także ułamki o jednakowych licznikach: ten z nich jest większy, który ma mniejszy mianownik. Części całości opisane ułamnkiem z większym mianownikiem są mniejsze, a bierzemy ich w obu przypadkach tyle samo.

Przykłady

• $\frac{3}{5}>\frac{3}{7}$ (kawałki są większe, gdy całość dzielimy na 5 równych części, niż gdy dzielimy ja na 7 równych części, w obu przypadkach bierzemy po 3 takie kawałki)
• $\frac{13}{11}<\frac{13}{10}$ (kawałki są większe, gdy całość dzielimy na 10 równych części, niż gdy dzielimy ją na 11 równych części, w obu przypadkach bierzemy po 13 takich kawałków)

3) Łatwo porównuje się ułamki o różnych licznikach i mianownikach, jeśli nierówność między mianownikami jest przeciwna niż między licznikami. 

Przykłady

• $\frac{3}{5}>\frac{2}{7}$,   tutaj  3 > 2   i   5 < 7
  (części piąte są większe niż siódme i na dodatek bierzemy ich więcej)
• $\frac{3}{11}<\frac{5}{9}$,   tutaj  3 < 5   i   11 > 9
  (części dziewiąte są większe niż jedenaste i na dodatek bierzemy ich więcej)

4) Czasem można łatwo porównać ułamki o różnych licznikach i mianownikach przez ich dopełnienie do jedności. Ułamek leżący bliżej jedynki jest większy.

Przykłady

• $\frac{7}{8}<\frac{8}{9}$ (pierwszy ułamek jest mniejszy od 1 o $\frac{1}{8}$, a drugi o $\frac{1}{9}$)
• $\frac{8}{11}>\frac{4}{9}$ (pierwszy ułamek jest mniejszy od 1 o $\frac{3}{11}$, a drugi o $\frac{5}{9}$)

5) Czasami można łatwo porównać ułamki o różnych licznikach i mianownikach przez ich porównanie z innym ułamkiem.

Przykłady

• $\frac{2}{5} < \frac{3}{4}$ ($\frac{2}{5}$ to mniej niż połowa, bo $\frac{1}{2}=\frac{2,5}{5}$, zaś $\frac{3}{4}$ to więcej niż połowa, bo $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$ )
• $\frac{9}{40} < \frac{25}{96}$ ($\frac{9}{40}$ to mniej niż ćwiartka, bo $\frac{1}{4}=\frac{10}{40}$, zaś $\frac{25}{96}$ to więcej niż ćwiartka, bo $\frac{1}{4}=\frac{24}{96}$)

Porównywanie dowolnych ułamków

Jeśli nie da się ułamków porównać sprytnie (jak w przypadkach 1-5) zawsze można sprowadzić je do wspólnego licznika lub mianownika.

Przykłady

• Aby porównać ułamki $\frac{3}{17}$ i $\frac{6}{35}$, wygodnie jest je sprowadzić do wspólnego licznika: $\frac{3}{17}=\frac{3\cdot2}{17\cdot2}=\frac{6}{34}$  > $\frac{6}{35}$.
• Aby porównać ułamki $\frac{17}{41}$ i $\frac{52}{123}$, wygodnie jest je sprowadzić do wspólnego mianownika: $\frac{17}{41}=\frac{17\cdot3}{41\cdot3}=\frac{51}{123}$ < $\frac{52}{123}$.
• Wspólny mianownik można znaleźć dla dowolnych ułamków. W najgorszym przypadku bedzie to iloczyn mianowników tych ułamków, np. wspólnym mianownikiem ułamków $\frac{11}{13}$ i $\frac{14}{17}$ może być 13·17 = 221 i mamy: $\frac{11}{13}=\frac{11\cdot17}{13\cdot17}=\frac{187}{221}$ oraz $\frac{14\cdot13}{17\cdot13}=\frac{182}{221}$, czyli $\frac{11}{13}$ > $\frac{14}{17}$.

A teraz spróbuj sam:

DODAWANIE I ODEJMOWANIE

Dodawanie / odejmowanie ułamka do/od liczby całkowitej

Dodawanie ułamka do liczby całkowitej jest proste. Wynikiem jest

Przykłady

• .
• .

Odejmowanie ułamka od liczby całkowitej

Dodawanie i odejmowanie ułamków

Dodawanie i odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach jest proste. Dodajemy lub odejmujemy ich liczniki, a mianownik zostawiamy bez zmian.

Przykłady

• $\frac{3}{17}+\frac{4}{17}=\frac{3+4}{17}=\frac{7}{17}$
• $\frac{5}{17}-\frac{3}{17}=\frac{5-3}{17}=\frac{2}{17}$
• $\frac{3}{17}-\frac{4}{17}=\frac{3-4}{17}=\frac{-1}{17}$
• ze skracaniem
• więcej składników

Aby dodać lub odjąć dwa ułamki o róznych licznikach, wystarczy je sprowadzić do wspólnego mianownika i dodać lub odjąć jak wyżej.

Przykłady

• $\frac{5}{6}+\frac{2}{15}=\frac{5\cdot5}{6\cdot5}+\frac{2\cdot2}{15\cdot2}=\frac{25}{30}+\frac{4}{30}=\frac{29}{30}$
• $\frac{5}{6}+\frac{4}{9}=\frac{5\cdot3}{6\cdot3}+\frac{4\cdot2}{9\cdot2}=\frac{15}{18}+\frac{8}{18}=\frac{23}{18}$, co można jeszcze uprościć do $1\frac{5}{18}$
• $\frac{7}{9}-\frac{3}{7}=\frac{7\cdot7}{9\cdot7}-\frac{3\cdot9}{7\cdot9}=\frac{49}{63}-\frac{27}{63}=\frac{22}{63}$
• odejmowanie ze skracaniem
• więcej składników

A teraz spróbuj sam:

• z całkowitą
• ułamki
• wiecej składników
• z upraszczaniem
• z wyciąganiem całości

MNOŻENIE I DZIELENIE

Mnożenie i dzielenie ułamków przez liczbę całkowitą

Dzielenie liczby całkowitej przez ułamek

Mnożenie ułamków

Mnożenie ułamków zwykłych jest łatwiejsze niż ich dodawanie. Wystarczy osobno pomnożyć liczniki ułamków i wpisać do licznika oraz pomnożyć ich mianowniki i wpisać do mianownika wyniku.

Przykłady

• $\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{7}=\frac{2\cdot3}{5\cdot7}=\frac{6}{35}$

Dzielenie ułamków

Dzielenie jakiejś liczby przez ułamek, to mnożenie przez odwrotność tego ułamka. 

A teraz spróbuj sam: