Działania na liczbach całkowitych

Poniższe przykłady pokazują własności działań na liczbach całkowitych.

LICZBA PRZECIWNA

Pamiętaj, że istnieją dwa działania oznaczone znakiem minus (na kalkulatorze i w większości podręczników oznaczone są zazwyczaj długim i krótkim myślnikiem).

• 'długi minus' stoi pomiędzy liczbami i oznacza odejmowanie, np. 5−3,
• 'krótki minus' stoi przed liczbą i oznacza zamianę na liczbę przeciwną , np. -5.

DODAWANIE

• Dodajemy liczby dodatnie - wynik jest dodatni, np.
  200 + 100 = 300
  Gdy jedna osoba da ci 200 zł, a druga 100 zł, razem masz 300 zł i jesteś mocno na plusie.

• Dodajemy liczby ujemne - wynik jest ujemny, np.
  (-200) + (-100) = (-300).
  Gdy u jednej osoby masz 200 zł długu, a u drugiej 100 zł długu, długi się dodają i jesteś mocno na minusie.

• Dodajemy liczbę ujemną i dodatnią - wynik ma taki znak, jak "przeważająca" liczba, np. 200 jest większe niż 100, więc znak wyniku jest taki, jak znak przy 200:
  200 + (-100) = 100
  (-200) + 100 = -100
  Gdy jedna osoba da ci 200 zł, ale u drugiej masz 100 zł długu, to w sumie jesteś 100 zł na plusie.
  Gdy u jednej osoby masz 200 zł długu, a druga da ci 100 zł, to w sumie jesteś 100 zł na minusie.

A teraz spróbuj sam:

1) Dla treningu oblicz wyniki tych działań.
330 + 120                     2,8 + 6,4
330 + (-120)                 2,8 + (-6,4)
(-330) + 120                (-2,8) + 6,4
(-330) + (-120)            (-2,8) + (-6,4)

2) A teraz oblicz wynik takich działań.
(-1) + (-(-2)) + (-(-(-3))) =
2010 + (-2010) + (-(-2010)) + (-(-(-2010))) =

ODEJMOWANIE

• Odejmujemy liczby dodatnie - wynik jest dodatni, jeśli pierwsza liczba jest większa lub ujemny, jeśli jest mniejsza, np. 200 jest większe niż 100, więc
  200 − 100 = 100
  100 − 200 = -100
  Gdy masz 200 zł i ktoś zabierze ci 100 zł, to jesteś 100 zł na plusie.
  Gdy masz 100 zł i ktoś zabierze ci 200 zł, to jesteś 100 zł na minusie.

• Odejmujemy liczby ujemne - wynik jest dodatni, jeśli druga liczba (bez znaku) jest większa od pierwszej, a ujemny, jeśli jest mniejsza, np. 200 jest większe niż 100, więc
  (-200) − (-100) = -100
  (-100) − (-200) = 100
  Gdy masz 200 zł długu i ktoś zabierze ci 100 zł długu, twój dług wynosi już tylko 100 zł, więc jesteś tylko 100 zł na minusie.
  Gdy masz 100 zł długu i ktoś zabierze ci 200 zł długu, to nie masz długu wcale, a nawet jesteś 100 zł na plusie.
  Uwaga! Jeśli ktoś zabiera ci dług, to tak, jakby dokładał ci gotówkę, więc odejmowanie liczby ujemnej (długu) to to samo, co dodawanie liczby dodatniej (gotówki), więc:
  (-200) − (-100) = (-200) + 100 = -100
  (-100) − (-200) = (-100) + 200 = 100

• Odejmujemy liczbę ujemną od dodatniej - wynik jest dodatni, np.
  200 − (-100) = 200 + 100 = 300
  100 − (-200) = 100 + 200 = 300
  Gdy masz 200 zł i ktoś zabierze ci 100 zł długu, to jesteś 300 zł na plusie.
  Gdy masz 100 zł i ktoś zabierze ci 200 zł długu, to jesteś 300 zł na plusie.

• Odejmujemy liczbę dodatnią od ujemnej - wynik jest ujemny, np.
  (-200) − 100 = -300
  (-100) − 200 = -300
  Gdy masz 200 zł długu i ktoś zabierze ci 100 zł, to jesteś 300 zł na minusie.
  Gdy masz 100 zł długu i ktoś zabierze ci 200 zł, to jesteś 300 zł na minusie.

A teraz spróbuj sam:

1) Dla treningu oblicz wyniki tych działań.
330 − 120                               2,8 − 6,4
120 − 330                               6,4 − 2,8
330 − (-120)                           2,8 − (-6,4)
(-120) − 330                           (-6,4) − 2,8
(-330) − 120                           (-2,8) − 6,4
120 − (-330)                           6,4 − (-2,8)
(-330) − (-120)                       (-2,8) − (-6,4)
(-120) − (-330)                       (-6,4) − (-2,8)

2) A teraz oblicz wynik takich działań.
[(-0,64) − (-2,8)] + [(-8,6) − 0,4] =
1 + (-2) − 3 − (-(-4)) =
2010 + (+2010) + (-2010) − (+2010) − (-2010) = 

MNOŻENIE

• Uwaga! Podstawowe własności liczb ujemnych wykorzystywane w mnożeniu to:
  (-21) = (-1) x 21  oraz  (-1) x (-1) = 1

• Mnożymy liczby dodatnie - wynik jest dodatni, np. 21 x 3 = 63

• Mnożymy liczby ujemne - wynik jest dodatni, bo:
  (-21) x (-3) = (-1) x 21 x (-1) x 3 = (-1) x (-1) x 21 x 3 = 1 x 63 = 63

• Mnożymy liczby różnych znaków - wynik jest ujemny, bo:
  (-21) x 3 = (-1) x 21 x 3 = (-1) x 63 = (-63)
  21 x (-3) = 21 x (-1)x3 = (-1) x 21 x 3 = (-63)

Zauważ, że w tych działaniach korzystaliśmy z łączności i przemienności mnożenia.

DZIELENIE

• Uwaga! Podstawowe własność liczb ujemnych wykorzystywane w dzieleniu:
   (-1) : (-1) = 1 oraz 21 : (-1) = (-21).
• Dzielimy liczby dodatnie - wynik jest dodatni, np. 21 : 3 = 7
• Dzielimy liczby ujemne - wynik jest dodatni, bo
  (-21) : (-3) = [tex] \frac {(-1) \cdot 21} {(-1) \cdot 3}[/tex] = 21 : 3 = 7
• Dzielimy liczby różnych znaków - wynik jest ujemny, bo:
  (-21) : 3 = [tex] \frac{(-1)\cdot 21}{3} [/tex] = (-1)x7 = -7
  21 : (-3) = [tex] \frac{21}{(-1)\cdot3} = \frac{7}{-1} [/tex] = -7

A teraz spróbuj sam:

1) Dla treningu oblicz wyniki tych działań.
320 x 4                                     6,4 x 8
320 : 4                                     6,4 : 8
320 x (-4)                                 6,4 x (-8)
320 : (-4)                                 6,4 : (-8)
(-320) x 4                                (-6,4) x 8
(-320) : 4                                 (-6,4) : 8
(-320) x (-4)                             (-6,4) x (-8)
(-320) : (-4)                             (-6,4) : (-8)

2) A teraz oblicz wyniki takich działań.