Proste i okręgi

Jest to temat na samodzielną pracę badawczą ucznia z matematyki, do wykonania indywidualnie lub w grupie. Obejmuje zagadnienia geometrii płaskiej, konstrukcji geometrycznych oraz kombinatoryki. Może być realizowany na wszystkich poziomach edukacyjnych (wtedy praca w różnym stopniu będzie wyczerpywać temat). Proponowane zagadnienia mogą być poszerzone o własne propozycje pytań i problemów.

Proste i okręgi to jedne z najprostszych figur geometrycznych, a jednocześnie to jedyne figury płaskie już od czasów starożytnych uznawane za doskonałe (tylko one mogą ślizgać się same po sobie). Do dziś obowiązuje kanon konstrukcji geometrycznych wykonywanych cyrklem i linijką, zatem sprowadzających się do kreślenia wyłącznie prostych i okręgów. Zbadajmy wzajemne relacje, jakie zachodzą między tymi figurami.

1. Ile prostych i ile okręgów może przechodzić przez jeden punkt? A przez dwa różne punkty? A przez trzy? Gdzie leżą środki tych okręgów? Jakie figury te środki utworzą?

2. Jak mogą leżeć względem siebie okrąg i prosta? Ile mogą mieć punktów wspólnych? Jakie warunki muszą być spełnione, aby uzyskać takie właśnie położenie? Czy okrąg i prosta mogą utworzyć figurę symetryczną? Ile może ona mieć osi symetrii? Rozważ te same pytania dla wzajemnego położenia dwóch okręgów.

3. Mówimy, że okrąg jest styczny do prostej, jeśli ma z nią tylko jeden punkt wspólny. Zbadaj, ile można narysować różnych okręgów stycznych do jednej prostej. A ile stycznych do jednej prostej w określonym punkcie? Gdzie leżą środki tych okręgów? Jaką figurę tworzą? Rozważ te same pytania, jeśli dane są dwie proste i okręgi mają być styczne jednocześnie do obu.

4. Czy można narysować okrąg styczny jednocześnie do trzech prostych? A do czterech? Czy zawsze jest to możliwe? Czy jest takich okręgów więcej? Jakie warunki muszą być spełnione, aby takie okręgi istniały? Gdzie leżą ich środki? A jeśli prostych jest jeszcze więcej?

5. Ile jest okręgów stycznych do ustalonej prostej przechodzących przez zadany punkt? A przez dwa zadane punkty? A przez trzy? Gdzie leżą ich środki? Jak narysować te okręgi konstrukcyjnie? A jeśli proste są dwie? A jeśli prostych jest jeszcze więcej?

6. A jak jest z okręgami stycznymi do okręgów? Ile ich jest dla ustalonej liczby okręgów? A jeśli muszą przechodzić przez ustalony punkt? Gdzie leżą ich środki? Jakie figury te środki tworzą? Jak takie okręgi styczne rysować konstrukcyjnie?

7. Ile jest okręgów stycznych jednocześnie do danego okręgu i do prostej? Gdzie leżą ich środki? A okręgów stycznych do okregu i do dwóch prostych? A do dwóch okręgów i do prostej?

8. Na ile części mogą podzielić płaszczyznę trzy proste? Na ile najmniej, a na ile najwięcej? Czy wszystkie możliwości pośrednie da się też uzyskać? A jeśli prostych jest mniej? A jeśli jest więcej? Jaka będzie odpowiedź dla 117 prostych?

9. Na ile części mogą podzielić płaszczyznę trzy okręgi? Na ile najmniej, a na ile najwięcej? Czy można uzyskać wszystkie możliwości pośrednie? A jeśli okręgów jest mniej? A jeśli jest więcej? Jaka będzie odpowiedź dla 117 kół?

10. Jakie inne wzajemne relacje prostych i okręgów można badać? Które z rozważanych problemów można badać w przestrzeni trójwymiarowej?

Jeśli zrealizujecie pracę projektową na przedstawiony tu temat, prześlijcie ją do nas (na płycie CD lub na papierze) na adres:
Redakcja Wrocławskiego Portalu Matematycznego
Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego
pl. Grunwaldzki 2/4, 50-384 Wrocław

Pochwalcie się też, jeśli wysłaliście ją na jakiś konkurs. Napiszemy o tym, a najciekawsze prace dodatkowo nagrodzimy matematycznymi upominkami.

NAGRODZENI

• Pracę pt. Piękno tkwi w szczegółach, czyli kilka słów o doskonałych figurach geometrycznych przygotował Jonatan Stokłosa z I LO z Legnicy (pod kierunkiem nauczycielki matematyki Barbary Obremskiej). Praca została wyróżniona listem gratulacyjnym na XXV Ogólnopolskim Sejmiku Matematyków w 2008 roku.
• W konkursie Proste i okręgi ogłoszonym przez Magazyn Miłośników Matematyki w nr. 2/2008 najlepszą pracę na ten temat napisał Radosław Burny z I LO w Płocku.