Wykonalność działań

Dodawanie i mnożenie

Dodawanie i mnożenie są wykonalne zawsze, dla dowolnych liczb rzeczywistych. Oznacza to, że dowolne dwie liczby można dodać lub pomnożyć i wynik będzie zawsze jednoznacznie określony.

Odejmowanie

Odejmowanie nie jest wykonalne w zbiorze liczb naturalnych, bo nie każde dwie liczby naturalne można odjąć tak, by otrzymać naturalny wynik, np. nie da się wykonać w liczbach naturalnych odejmowania 2-7, chociaż da się wykonać odejmowanie 7-2 .
Odejmowanie jest zawsze wykonalne w zbiorze liczb całkowitych, wymiernych lub rzeczywistych. Oznacza to, że możemy odjąć dowolne dwie liczby np. całkowite lub wymierne, a wynik będzie zawsze jednoznacznie określony i będzie również odpowiednio liczbą całkowitą lub wymierną.

Dzielenie

Dzielenie nie jest wykonalne w zbiorze liczb naturalnych lub całkowitych, bo nie każde dwie liczby naturalne lub całkowite można odjąć tak, by otrzymać naturalny lub całkowity wynik, np. nie da się wykonać w liczbach naturalnych dzielenia 3:6, chociaż da się wykonać dzielenie 6:3.
Dzielenie przez liczby różne od zera jest wykonalne w zbiorze liczb wymiernych lub rzeczywistych. Oznacza to, że możemy podzielić dowolne dwie liczby np. wymierne lub rzeczywiste, a wynik będzie zawsze jednoznacznie określony i będzie również odpowiednio liczbą wymierną lub rzeczywistą.
Dzielenie przez zero nie jest w ogóle wykonalne w żadnym zbiorze, bo żaden możliwy wynik takiego działania nie spełniałby własności dzielenia, np.
gdyby 3:0 = 3, to musiałoby być 3:0 = 3, a tak nie jest;
gdyby 3:0 = 0, to musiałoby być 0:0 = 3, a tak nie jest.
Podobnie żadna inna liczba nie może być wynikiem dzielenia 3:0.
Dzielenie liczby zero przez liczbę różną od zera jest wykonalne, a wynikiem tego działania jest zawsze zero, np. 0:3 = 0, bo 0:3 = 0.

Potęgowanie

Potęgowanie jest wykonalne w zbiorze liczb naturalnych (0 nie uważamy za naturalne). Oznacza to, że dowolną liczbę naturalną można podnieść do dowolnej naturalnej potęgi, a wynik będzie zawsze jednoznacznie określony i będzie liczbą naturalną.
Potęgowanie nie jest wykonalne w zbiorze liczb całkowitych, bo podnosząc liczbę całkowitą do całkowitej potęgi nie zawsze otrzymamy całkowity wynik, np. 2^-1 = 1/2 i to nie jest liczba całkowita.
Podnoszenie do potęgi całkowitej jest wykonalne w liczbach wymiernych (z wyjątkiem działania 0⁰). Oznacza to, że dowolną liczbę wymierną można podnieść do dowolnej całkowitej potęgi, a wynik będzie zawsze jednoznacznie określony i będzie liczbą wymierną.
Potęgowanie nie jest wykonalne w zbiorze liczb wymiernych, bo podnosząc liczbę wymierną do wymiernej potęgi nie zawsze otrzymamy wymierny wynik, np. 2^1/2 = √2 i to nie jest liczba wymierna.
Potęgowanie nie jest wykonalne w zbiorze liczb rzeczywistych, bo np. nie da się wykonać potęgowania (-1)^1/2. Żaden możliwy wynik tego działania nie spełniałby własności potęgowania, np.
gdyby (-1)^1/2 = 1, to musiałoby być 1²= -1, a tak nie jest.
Podobnie żadna inna liczba nie może być wynikiem potęgowania (-1)^1/2 .

Uwaga!

Aby wynik potęgowania był jednoznaczny wprowadzono pojęcie pierwiastka arytmetycznego, który jest zawsze dodatni, dlatego np. 4^1/2 = √4 to zawsze 2, nigdy (-2).
Podnoszenie do potęgi wymiernej jest wykonalne w liczbach zespolonych, ale wynik działania nie jest jednoznaczny, tzn. wynikiem jednego potęgowania może być kilka różnych liczb zespolonych, np. 1^1/4 to zarówno 1, -1, i oraz (-i).

Pierwiastkowanie

Pierwiastkowanie nie jest wykonalne w zbiorze liczb wymiernych, bo nie każdą liczbę wymierną można spierwiastkować tak, by otrzymać wymierny wynik, np. nie da się wykonać w liczbach wymiernych pierwiastkowania [tex]\sqrt[4]{2}[/tex], chociaż da się wykonać pierwiastkowanie [tex]\sqrt{4}[/tex].
Pierwiastkowanie stopnia parzystego nie jest wykonalne dla liczb ujemnych, bo żaden możliwy wynik takiego działania nie spełniałby własności pierwiastkowania, np.
gdyby √(-4) = -2, to musiałoby być (-2)² = -4, a tak nie jest.
Podobnie żadna inna liczba nie może być wynikiem pierwiastkowania √(-4).
Pierwiastkowanie stopnia nieparzystego jest wykonalne dla wszystkich liczb rzeczywistych. Oznacza to, że możemy wyciągnąć pierwiastek stopnia nieparzystego z dowolnej liczby rzeczywistej, a wynik będzie zawsze jednoznacznie określony.

Uwagi!

Aby wynik potęgowania był jednoznaczny wprowadzono pojęcie pierwiastka arytmetycznego, który jest zawsze dodatni, dlatego np. √4 to zawsze 2, nigdy (-2).
Pierwiastkowanie jest wykonalne w liczbach zespolonych, ale wynik działania nie jest jednoznaczny, tzn. wynikiem jednego pierwiastkowania może być kilka różnych liczb zespolonych, np. [tex]\sqrt[4]{1}[/tex] to zarówno 1, -1, i oraz (-i).

Logarytmowanie

Logarytmowanie nie jest wykonalne dla liczb ujemnych ani dla zera, bo żaden możliwy wynik takiego działania nie spełniałby własności logarytmowania, np.
gdyby log₂(-4) = -2, to musiałoby być 2^-2 = -4, a tak nie jest;
podobnie żadna inna liczba nie może być wynikiem logarytmowania log₂(-4);
gdyby log₂0 = 0, to musiałoby być 2⁰ = 0, a tak nie jest, bo 2⁰= 1;
podobnie żadna inna liczba nie może być wynikiem logarytmowania log₂0.