Zad. 1. Liczby x i y są naturalne i większe od trzech, a także spełniają warunek
Zad. 2. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n, liczba n5/5 + n3/3 + 7n/15 jest całkowita.
Zad. 3. Liczby całkowite a, b, c są całkowite i spełniają warunek (x−y)(y−z)(z−x)=x+y+z. Przez jaką największą potęgę trójki musi być podzielna liczba x+y+z?
W styczniu punkty zdobył:
- 12 – Szymon Michalik, SP 3 Warszawa.
Zad. 1. Po przekształceniu otrzymamy:
Zad. 2. Wystarczy pokazać (dlaczego?), że liczba 3n5+5n3+7n jest podzielna przez 15. Ale 3n5+5n3+7n=3(n5−n)+5(n3−n)+15n. Łatwo można wykazać, że nawiasy są podzielne odpowiednio przez 5 i 3.
Zad. 3. Załóżmy, że liczba ta nie jest podzielna przez trzy. Wtedy żaden z nawiasów nie może być podzielny przez trzy, a zatem liczby x,y,z mają różne reszty z dzielenia przez trzy. Ale wtedy x+y+z jest podzielne przez trzy, co stanowi sprzeczność. Wiemy więc, że ta liczba musi być wielokrotnością trójki. Oznacza to, że liczby x,y,z mają taką samą resztę z dzielenia przez trzy, a więc w iloczynie (x−y)(y−z)(z−x) trójka występuje co najmniej trzy razy. Zatem x+y+z musi być podzielna przez 27. Pozostaje pokazać, że nie musi być ona podzielna przez wyższe potęgi trójki. Istotnie, dla x=15, y=18, z=21 równość jest spełniona, a suma tych liczb wynosi 54.
