Zad. 1. Wykaż, że każda funkcja [tex]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/tex], może być przedstawiona jako suma dwóch funkcji, których wykresy mają oś symetrii (każdej funkcji może odpowiadać inna oś).
Zad. 2. Niech n będzie liczbą naturalną. Znajdź liczbę permutacji [tex]\sigma[/tex] zbioru {1, 2, ..., n} takich, że [tex]\sigma(k)\ge k[/tex] dla dokładnie dwóch k.
Zad. 3. Rozwiąż równanie cos(cos(cos(cos(x)))) = sin(sin(sin(sin(x)))).
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 10 - Miłosz Zajdel (I LO Krosno).
Zad. 1. Ustalmy dowolną liczbę a>0. Mając daną funkcję f skonstruujemy funkcje g, h o osiach symetrii odpowiednio x=0 i x=a takie, że f(x) = g(x)+h(x). Będziemy je konstruować kawałkami. Niech g(x)=0 na przedziale [-a, a] oraz h(x)=f(x) na przedziale [-a, a]. Wtedy z konieczności h(x)=f(2a–x) na przedziale [a, 3a] oraz g(x)=f(x)–f(2a–x) na przedziale [a, 3a]. Teraz z kolei wiemy, jak musi wyglądać g na przedziale [-3a, -a] itd.
Zad. 2. Każdą permutację można jednoznacznie przedstawić jako sumę rozłącznych cykli, a w każdym cyklu znajdzie się przynajmniej jeden indeks dla którego [tex]\sigma(k)\ge k[/tex], więc rozważane przez nas permutacje składają się z co najwyżej dwóch cykli. Jeżeli permutacja składa się z dwóch cykli, to w każdym z nich elementy muszą być ustawione w kolejności nierosnącej, więc takich permutacji jest dokładnie tyle, co podziałów zbioru n-elementowego na dwa niepuste podzbiory, czyli 2n–1–1. Teraz przypuśćmy, że nasza permutacja składa się z jednego cyklu. Wtedy będzie on ciągiem elementów malejących do 1, po którym wystąpi ciąg elementów malejących do pewnej liczby k. Liczby 1, 2, ..., k–1 muszą się znaleźć w pierwszym ciągu, więc możemy wybrać jedynie, w którym ciągu umieszczamy każdy z elementów k+1, k+2, ..., n. Możemy to zrobić na 2n–k sposobów, a ponieważ k było dowolną liczbą [tex]1 < k \le n[/tex], to takich permutacji jest 1+2+...+2n–2 = 2n–1–1. W sumie istnieje 2n–2 permutacji spełniających warunek z zadania.
Zad. 3. Pokażemy, że cos(cos(x)) > sin(sin(x)), z czego będzie wynikać, że cos(cos(cos(cos(x)))) > sin(sin(cos(cos(x)))) > sin(sin(sin(sin(x)))), więc i to, że nasze równanie nie ma rozwiązań. Druga nierówność wynika z faktu, że funkcja sin(sin(x)) jest rosnąca na przedziale [0, 1]. Nierówność cos(cos(x)) > sin(sin(x)) wystarczy sprawdzić dla [tex]x\in [0,2\pi][/tex]. Dla x>π zachodzą nierówności cos(cos(x)) > 0 > sin(sin(x)), więc możemy ograniczyć rozważania do argumentów z przedziału [0, π]. Wartość wyrażeń występujących po obu stronach nierówności nie zmieni się, gdy zamiast x wpiszemy π–x, więc możemy ograniczyć rozważania do przedziału [0, π/2]. Zauważmy, że [tex]\cos(x)+\sin(x)\le \sqrt{2}<\frac{\pi}{2}[/tex] oraz że sin(x) jest funkcją rosnącą na przedziale [0, π/2], więc możemy napisać cos(cos(x)) = sin(π/2–cos(x)) > sin(sin(x)), co kończy dowód.
Tradycja bożo-narodzeniowych jarmarków we Wrocławiu sięga XVI wieku. Jedną z ich atrakcji bywała dawniej "legnicka bomba". Co to było? 
