Zad. 1. Sto liczb rzeczywistych ustawiono w ciąg w taki sposób, że liczba o numerze n jest o n mniejsza od sumy pozostałych 99 liczb. Znajdź pięćdziesiąty wyraz tego ciągu.
Zad. 2. Znajdź wszystkie funkcje o argumentach i wartościach naturalnych spełniające dla każdego argumentu n równość f(f(n)) = f(n)+1, których najmniejszą przyjmowaną wartością jest 1.
Zad. 3. Znajdź wszystkie liczby naturalne dodatnie n, dla których liczba 2n+12n+2023n jest kwadratem.
W tym miesiącu 11 pkt. zdobył Szymon Michalik, SP 3 Przymierza Rodzin Warszawa.
Zad. 1. Oznaczmy sumę wszystkich stu liczb przez S. Mamy wówczas xk = S−xk−k, a więc S−2xk = k. Podstawiając pod k wszystkie liczby naturalne od 1 do 100 i dodając otrzymane sto równań stronami, otrzymujemy 100S−2(x1+x2+...+x100)=1+2+...+100, a zatem 98S=5050, czyli S=2525/49. Z równości S−2x50 = 50 otrzymujemy, że x50 = 75/98.
Zad. 2. Załóżmy, że minimum funkcji jest osiągane dla argumentu a, t.j. f(a)=1. Wówczas f(f(a))=f(1)=1+1=2, a także f(f(1))=f(2)=f(1)+1=2+1=3. Analogicznie dla każdej liczby naturalnej dodatniej otrzymamy f(n)=n+1. Oznacza to, że a=0, a wzór f(n)=n+1 obowiązuje dla każdego argumentu.
Zad. 3. Zauważmy, że dla n większego od 1 lewa strona równania przystaje modulo 12 do 3 lub 5, a kwadraty przystają modulo 12 do 0, 1, 4 lub 9. Pozostaje więc sprawdzić n=1, dla której kwadratu nie otrzymamy.
Tradycja bożo-narodzeniowych jarmarków we Wrocławiu sięga XVI wieku. Jedną z ich atrakcji bywała dawniej "legnicka bomba". Co to było? 
