Zad. 1. Znajdź liczby rzeczywiste x, dla których wyrażenia tgx i tg2x przyjmują wartości całkowite.
Zad. 2. Liczby dodatnie a, b, c, d spełniają a+b = c+d oraz a2+b2 > c2+d2. Pokaż, że a5+b5 > c5+d5.
Zad. 3. Objętość pewnego równoległościanu jest liczbowo równa jego polu powierzchni i wynosi 216. Pokaż, że ten równoległościan jest sześcianem.
W tym miesiącu 20 punktów zdobył Radosław Górzyński (I LO Lubin). Gratulacje.
Zad. 1. Załóżmy, że x to liczba rzeczywista, dla której tgx = m i tg2x = n. Wtedy [tex] \frac{2m}{1-m^2} = n, -mn= \frac{2m^2}{m^2 -1} = 2+ \frac{2}{m^2 -1} [/tex]. Zatem oba wyrażenia tgx i tg2x będą całkowite, gdy ułamek [tex] \frac{2}{m^2 -1} [/tex] będzie liczbą całkowitą. To jest możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy 2|m2–1, czyli gdy m2–1 [tex]\in \left( -2,-1,1,2 \right) [/tex]. Stąd jedyna możliwość to m2–1 = -1, czyli m=0. Zatem x jest całkowitą wielokrotnością π.
Zad. 2. Z założenia (1) a+b = c+d oraz (2) c2+d2 < a2+b2. Stąd (c+d)2–2cd < (a+b)2–2ab, czyli (3) cd>ab.
Podnosząc do sześcianu równość (1) oraz korzystając z warunku (3), otrzymujemy nierówność (4) a3+b3 > c3+d3.
Z (2) i (4) wynika, że (a2+b2)(a3+b3) > (c2+d2)(c3+d3). Z (1) i (3) wynika, że a2b2(a+b) < c2d2(c+d). Zatem a5+b5+c2d2(c+d) > a5+b5+a2b2(a+b) > c5+d5+c2d2(c+d), czyli a5+b5 > c5+d5.
Zad. 3. Sześcian o krawędzi długości 6 ma objętość i pole powierzchni całkowitej 216. Dowolny równoległościan (niesześcian) o objętości 216 ma pole powierzchni całkowitej większe niż 216 - jest to izoperymetryczna własność równoległościanów o danej objętości. Stąd wynika teza zadania.
Tradycja bożo-narodzeniowych jarmarków we Wrocławiu sięga XVI wieku. Jedną z ich atrakcji bywała dawniej "legnicka bomba". Co to było? 
