Zad. 1. Wyznacz sumę cyfr sumy cyfr sumy cyfr sumy cyfr liczby 2022!2023!.
Zad. 2. Przez dwa tygodnie uczeń rozwiązywał zadania olimpijskie. Postanowił, że każdego dnia rozwiąże co najmniej jedno, ale w sumie rozwiąże co najwyżej dwadzieścia. Czy musi istnieć taki ciąg kolejnych dni, że w ich czasie rozwiązał dokładnie siedem zadań?
Zad. 3. Tworzymy liczbę rzeczywistą pomiędzy 0 a 1 w następujący sposób: n-ta cyfra po przecinku tej liczby, to ostatnia cyfra liczby nn. Czy otrzymana liczba będzie wymierna?
Punkty zdobyte w bieżącym miesiącu:
11 pkt - Igor Sudyka
6 pkt - Aleksander Porębny
Klasyfikacja generalna:
I m. 84 pkt - Aleksander Porębny (SP 113 Wrocław),
II m. 76 pkt - Igor Sudyka (SP 2 Jasło),
III m. 35 pkt - Jan Ząbkiewicz (KSP Gdynia),
IV m. 18 pkt - Monika Budzeń (SP 7 Leszno).
Zad. 1. Podstawa i wykładnik potęgi mają mniej niż 10000 cyfr, gdyż są iloczynami mniej niż 2500 liczb czterocyfrowych. Całe wyrażenie ma więc mniej niż 100 000 000 cyfr, zatem jego suma cyfr to co najwyżej 900 000 000. Suma cyfr sumy cyfr to więc co najwyżej 81. Suma cyfr sumy cyfr sumy cyfr wynosi więc co najwyżej 16, a suma cyfr takiej liczby jest mniejsza od 10. Wiemy, że odpowiedzią na zadane pytanie będzie liczba jednocyfrowa. Jednak jako że wyjściowa liczba jest podzielna przez 9, wynikiem musi być 9.
Zad. 2. Istnieje 14 różnych liczb, które stanowią liczbę zadań rozwiązanych na koniec któregoś dnia. Jeżeli pewne dwie z nich będą różnić się o 7, znajdziemy ciąg kolejnych dni, w któych rozwiązano dokładnie siedem zadań, ale z zasady szufladkowej wynika, że dwie liczby należą do tego samego spośród zbiorów: {1, 8}, ..., {13, 20}, wobec tego musi istnieć taki ciąg.
Zad. 3. Zauważmy, że bez zmiany wyniku podstawę potęgi możemy zastąpić przez cyfrę jedności liczby n. Ponadto ostatnia cyfra kolejnych potęg ustalonej liczby powtarza się co 4. Oznacza to, że nn ma taką samą cyfrę jedności, co (n+20)n+20, zatem konstruowana liczba ma rozwinięcie dziesiętne okresowe, czyli jest wymierna.
