Liczby Fermata

Liczby Fermata

Data ostatniej modyfikacji:
2018-09-27

Autor:

Sebastian Guz

Dział matematyki:

arytmetyka

Definicja:

Liczbami Fermata nazywamy liczby postaci $2^{2^n}+1$, gdzie n jest liczbą całkowitą nieujemną.
Przez $F_n$ oznacza się n-tą liczbę Fermata.

Liczby pierwsze Fermata:

Fermat przypuszczał, że wszystkie liczby powyższej postaci są liczbami pierwszymi, sprawdził to jednak tylko dla $n\in\{0,1,2,3,4\}$. Euler zauważył, że 641 dzieli $F_5$, co obaliło hipotezę Fermata. Natomiast słusznym okazało się twierdzenie, że jeżeli $2^N+1$ jest liczbą pierwszą, to N musi być naturalną potęgą liczby 2. Choć nie ma pewności, dziś panuje powszechne przekonanie, że liczb pierwszych Fermata jest skończenie wiele. Znane są jedynie:
$F_0=3$,
$F_1=5$,
$F_2=17$,
$F_3=257$,
$F_4=65537$.

Własności:

liczby pierwsze Fermata są parami względnie pierwsze-nie mają wspólnych dzielników poza 1 (Hardy, Wright);
istnieją liczby Fermata, których rozkład na czynniki nie jest znany, ale wiadomo, że liczby te są złożone (np.$F_{24}$ );
liczba cyfr n-tej liczby Fermata wyraża się wzorem $E(\ln(F_n)+1)\approx 1+E(2^{n}\cdot \ln 2)$, gdzie $E(x)$ oznacza część całkowitą z liczby x;
liczby Fermata spełniają zależność rekurencyjną: $F_n=F_0 \cdot F_1 \cdot ... \cdot F_{n-1} +2$;
twierdzenie Pepina: $F_n$ jest liczbą pierwszą, gdy $F_n$ dzieli liczbę $3^{2^{2^n-1}}+1$;
każdy dzielnik n-tej liczby Fermata jest postaci $2^{n+2} \cdot k +1$, gdzie k jest dodatnią liczbą całkowitą (Lucas);

Konstruowalność wielokątów foremnych:

Twierdzenie Gaussa-Wantzela: n-kąt foremny jest konstruowalny za pomocą cyrkla i linijki dokładnie wtedy, gdy $n=2^k \cdot p_1 \cdot ... \cdot p_r$, gdzie k jest liczbą naturalną (również zerem), natomiast $p_1 , ..., \; p_r$ są różnymi liczbami pierwszymi Fermata.
Warto przypomnieć, że konstruowalność n-kąta foremnego jest równoważna konstruowalności kąta o mierze $\frac{2\pi}{n}$

Bibliografia: