Rozety: wpisana w wielokąt i opisana na wielokącie
Data ostatniej modyfikacji: 2025-11-26
Autor:
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny:
gimnazjum
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
Dział matematyki:
geometria syntetyczna
W artykule prezentujemy kilkanaście zadań o rozetach, przy czym termin 'rozeta' jest wzięty z języka potocznego. Tylko w nielicznych zadaniach konieczne jest użycie trygonometrii (co wyraźnie zaznaczamy). Jeśli początkowe zadania okażą się za nudne lub za łatwe, to wystarczy zrobić tylko pięć z nich: O.n.o, O.n.p, O.n.p', W.o, W.3.p'.
We wskazówkach ukryte są rysunki do zadań, ale warto spróbować zrobić je najpierw samodzielnie.
Rozeta opisana na wielokącie
Gdy na wielokącie można opisać koło, to można też opisać na nim rozetę utworzoną następująco:
- wyznaczamy środek O koła opisanego na wielokącie
- wyznaczamy promienie tego koła łączące O z wierzchołkami
- tworzymy koła o średnicach będących tymi promieniami
- opisana rozeta jest sumą utworzonych kół.
Zadanie O.4.a. Wyznacz obwód i pole rozety opisanej na kwadracie o boku 4.
Wsk.
Wygląda to tak:
Zadanie O.6. Wyznacz obwód i pole rozety opisanej na sześciokącie foremnym o boku 4.
Wsk.
Wygląda to tak:
Zadanie O.3.a. Wyznacz obwód i pole rozety opisanej na trójkącie równobocznym o boku 4.
Wsk.
Wygląda to tak:
Zadanie O.4.b. Wyznacz obwód i pole rozety opisanej na prostokącie o wymiarach a×b.
Wsk.
Wygląda to tak:
Zadanie O.3.b. Wyznacz obwód i pole rozety opisanej na trójkącie prostokątnym o obu przyprostokątnych 4.
Wsk.
Wygląda to tak:
Zadanie O.3.c. Wyznacz obwód i pole rozety opisanej na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych 6 i 8.
Wsk.
Wygląda to tak:
Zadanie O.n.o. Niech W będzie takim wielokątem, że można na nim opisać koło i środek tego koła leży w W. Wyznacz obwód tej rozety.
Wsk.
To nie jest trudne.
Zadanie O.n.p. Niech W będzie takim wielokątem, że można na nim opisać koło i środek tego koła leży w W. Uzasadnij, że
pole rozety opisanej na W jest średnią arytmetyczną
pola W i pola koła opisanego na W.
Wsk.
Patrz:
Zadanie O.n.p'. (dla znających trygonometrię)
Wyznacz obwód i pole rozety opisanej na trójkącie o bokach 1, 1,
.
Rozeta wpisana w wielokąt
Gdy w wielokąt można wpisać koło, to można też wpisać weń rozetę
utworzoną następująco:
- wyznaczamy środek O koła wpisanego w wielokąt
- wyznaczamy promienie tego koła łączące punkty styczności z O
- tworzymy koła o średnicach będących tymi promieniami
- wpisana rozeta jest sumą utworzonych kół.
Zadanie W.4. Wyznacz obwód i pole rozety wpisanej w kwadrat o boku 4.
Wsk.
Wygląda to tak:
Zadanie W.6. Wyznacz obwód i pole rozety wpisanej w sześciokąt foremny o boku 4.
Wsk. 1.
Wygląda to tak:
Wsk. 2.
Jaka jest miara zaznaczonego kąta?
Zadanie W.3. Wyznacz obwód i pole rozety wpisanej w trójkąt równoboczny o boku 4.
Wsk. 1.
Wygląda to tak:
Wsk. 2.
Jaka jest miara zaznaczonego kąta?
Zadanie W.3.b. Wyznacz obwód i pole rozety wpisanej w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 4.
Wsk.
Wygląda to tak:
Zadanie W.3.c. Wyznacz obwód i pole rozety wpisanej w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 i 8.
Wsk.
Wygląda to tak:
Zadanie W.o. Jaki jest obwód rozety wpisanej w wielokąt, w który można wpisać koło o promieniu r?
Wsk.
To nie jest trudne.
Zadanie W.n. (dla znających trygonometrię)
Wyznacz obwód i pole rozety wpisanej w n-kąt foremny o boku a.
Zadanie W.3.p'. (dla znających trygonometrię)
Niech r i R oznaczają promień koła wpisanego trójkąt i promień koła opisanego na trójkącie t. Uzasadnij, że
Pole rozety wpisanej w t jest równe r2/2 +
1/8 .r2/R. obwód t .
Zadanie W.3.p''. (dla znających trygonometrię)
Niech r i R oznaczają promień koła wpisanego w trójkąt i promień koła opisanego na trójkącie t. Uzasadnij, że
Pole rozety wpisanej w t jest równe r2/2 +
1/4 .r/R. pole t .
W maju w zgłoszonych szkołach zostanie rozegrana XII edycja konkursu kombinatoryczno-algorytmiczno-logicznego Koala. Laureaci (po 4 juniorów i licealistów) wezmą udział w międzyregionalnym meczu koalowym z Wielkopolską na UAM w Poznaniu.
Przyznajemy: podsłuchiwaliśmy (choć to może nieładnie). Jeżeli AZYL jest miejscem, w którym usłyszeliśmy, jak ktoś powiedział "OK, stoi tort Oreo", to spróbuj zgadnąć, gdzie we Wrocławiu obiło nam się o uszy następujące zdanie "Oj, ale kim on nie jest"?
Zapraszamy do rozwiązywania zadań z Portalowych Lig Zadaniowych.
W maju w galerii "Łącznik" na WMI UWr odbywa się wystawa fotografii Anny Panek-Kusz ze Słubic pt. "Synteza symetrii". Wszystkie prace łączy ten sam zabieg – lustrzanego odbicia, odwracania obrazów i nakładania jednych na drugie. Autorka uzyskuje w ten sposób sumę i wypad-kową wizualnych eksperymentów dotyczących zarówno przestrzeni miejskiej, jak i wpisanej w nią natury oraz człowieka.
Lustrzana symetria niezwykle efektywnie rozwija wyobraźnię. Zawiera zestaw zadań o rosnącym stopniu trudności i jedynie dwa klocki (jeden jest negatywem drugiego), dzięki którym można kreować niezwykle skomplikowane figury.
Wszystkich master chefów oraz pospolitych zjadaczy makaronów zachęcamy do komponowania z nich (i nie tylko) intrygujących rozet o gwiaździstej symetrii.
To nie jest trudne.
.
Jaka jest miara zaznaczonego kąta?
r2/2 +
1/8 .
r2/R . obwód t .
