Ostrożnie z dodawaniem

U W A G A:   -   zalecany wiek - 18 lat   -   ostrożnie z dodawaniem   -   ostrożnie z nieskończonością

Napis:  
            0,7272727272727272...
 
jesteśmy przyzwyczajeni traktować jak liczbę.
 
Powstaje on na przykład przy dzieleniu pisemnym:
 
            0,7272...   
            8      :      11
            0   
            80
            77   
             30
             22   
              80
              77   
               30
               22   
                8
                ...
 
Uważamy więc, że napis ten reprezentuje tę samą liczbę co ułamek 8/11 (lub ułamek 16/22) :
 
            0,7272727272727272... = 8/11 .
 
Podobnie jest z:
 
            0,666666... = 2/3 .
 
Zgadzamy się też, że
 
            2/3 = 6/10 + 6/100 + 6/1000 + 6/10000 + 6/100000 + ... ,
 
bowiem dodając pisemnie:
 
            0,6
            0,06
            0,006
        +   0,0006
            0,00006
            .
            .
            .                  
            0,6666666666...
 
widzimy tezę.

Trudniej jest zobaczyć wynik dodawania:  
 
      1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + 1/1024 + ...
 
Równość tę można 'wyczytać' z rysunku obok.

Wyraźnie podkreślmy:

Ani w dzieleniu pisemnym, ani w dodawaniu pisemnym, w żadnym momencie nie doszliśmy do wyniku. Otrzymaliśmy wynik po 'wykonaniu' pewnej nieskończonej operacji (dzielenia czy dodawania) i powstał on nie rachunkowo lecz w wyobraźni.

Dodawać będziemy wszystkie następujące liczby: 

, -,
, -, , -,
, -, , -, , -, , -,
, -, , -, , -, , -, , -, , -, , -, , -,
, -, , -, , -, ... (16 dodatnich i 16 ujemnych) ...,
, -, , -, , -, ... (32 dodatnie i 32 ujemne) ...,
, -, , -, , -, ... (64 dodatnie i 64 ujemne) ...,
...

Najłatwiej jest je dodać tak, jak zostały wymienione:  
 

Widać, że po dodaniu wszystkich liczb otrzymujemy 0 (słownie: zero).

Gdy dodawać będziemy w innej kolejności, dzieją się 'dziwne rzeczy'. Popatrz...

Widać, że teraz po dodaniu wszystkich liczb otrzymujemy 1 (słownie: jeden).

Gdy dodawać będziemy w jeszcze innej kolejności, na przykład takiej:

otrzymamy 2 (słownie: dwa).

A co dostaniemy przy dodawaniu w poniższej kolejności?

Tak, dobrze widzisz, 5/4 (słownie: pięć czwartych). 

Nietrudno wymyślić kolejność dodawania, przy której otrzymamy wynik 1/2. Wypisz 100 początkowych składników tego dodawania.

Trochę trudniej wymyślić kolejność dodawania, przy której otrzymamy wynik 3/4. Wypisz 100 składników.

Podaj kolejność dodawania, przy której otrzymamy wynik (-1) (słownie: minus jeden). Wypisz 100 składników.

Czy jest takie ustawienie, przy którym suma jest równa 1/3?

Tak. Trzeba ustawić składniki według następującego algorytmu:

  - jeśli suma dotychczas wybranych składników jest mniejsza od 1/3,
wybierz pierwszą niewybraną dotychczas liczbę dodatnią,
 
  - jeśli suma dotychczas wybranych składników jest większa lub równa 1/3,
wybierz pierwszą niewybraną dotychczas liczbę ujemną.

Gdy w miejsce 1/3 wpiszemy (-17/13), to wygenerowane ustawienie da sumę równą właśnie (-17/13).

Gdy w miejsce 1/3 wpiszemy , to wygenerowane ustawienie da sumę równą .

Formalne uzasadnienie powyższych stwierdzeń niewiele się różni od zrozumienia działania powyższego algorytmu.

Gdy przestawimy składniki następująco:

'na końcu' nie otrzymamy 'żadnej sumy'. Częściowe sumy będą 'biegać' od 0 do 1 i z powrotem, nieskończenie wiele razy. Zadziwiające?

Powyższe rozważania matematyka wyższa kwituje stwierdzeniem:

Twierdzenie (Riemanna).   Niech szereg a_n będzie zbieżny, ale nie bezwzględnie zbieżny.
Wtedy dla dowolnej liczby c istnieje taka permutacja p wyrazów szeregu, że a_p(n) = c.
Istnieje też permutacja q wyrazów, przy której szereg a_q(n) jest rozbieżny.

Bezwzględna zbieżność szeregu oznacza, że jest on zbieżny także po wstawieniu wartości bezwzględnej nad każdym składnikiem.