KĄCIK NAUKOWY › Kółko matematyczne

Ostrosłup do sześcianu

Data ostatniej modyfikacji:
2012-03-29
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
gimnazjum
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
Dział matematyki: 
geometria syntetyczna
geometria przestrzenna
Do rysunków użyto apletu ze strony  www.javaview.de/
Można nimi manipulować (prawy przycisk myszy).


 


Powyższa bryła jest złączeniem sześcianu i wielu ostrosłupów prawidłowych o dowolnych podstawach, których wierzchołkiem (nieleżącym na podstawie) jest geometryczny środek sześcianu. Spróbujcie przeanalizować podobne, nieco prostsze konfiguracje.

 

 

Rzecz się dzieje w sześcianie ABCDA'B'C'D', którego współrzędne wierzchołków są równe:

A=( 1, 1, -1), B=( -1, 1, -1), C=( -1, -1, -1), D=( 1, -1, -1),
A'=( 1, 1, 1), B'=( -1, 1, 1), C'=( -1, -1, 1), D'=( 1, -1, 1).
Będziemy rozważali bryły Z będące złączeniem tego sześcianu i ostrosłupa prawidłowego o podstawie kwadratowej PQRS lub trójkątnej PQR oraz o wierzchołku (nienależącym do podstawy)W=(0,0,0), czyli
Z = ABCDA'B'C'D' PQRSW
lub
Z = ABCDA'B'C'D' PQRW.

W poniższych zadaniach treść jest przedstawiona na rysunku. Trzeba zrozumieć, jak wygląda Z i obliczyć współrzędne wierzchołków P, Q, R, S podstawy ostrosłupa.
Objętość (pole powierzchni) Z czasami łatwiej jest wyznaczyć, odejmując od sumy objętości (pola powierzchni) sześcianu i ostrosłupa objętość (pole powierzchni) tej części ostrosłupa, która jest schowana w sześcianie. Przydatna może być też

OBSERWACJA
Aby obliczyć pole różowego trójkąta, wystarczy znać stosunki, w jakich skrócone są boki niebieskiego trójkąta.
Podobnie jest z objętością różowego czworościanu.
Uwaga! Niektóre z zadań są żmudne, a inne trudne.
Na rysunkach można zobaczyć jedynie krawędzie ostrosłupa i sześcianu. Resztę trzeba sobie wyobrazić.

 

 


       
Zadanie A
Wysokość ostrosłupa jest równa 2.
Podaj współrzędne wierzchołków podstawy ostrosłupa:
P ( , , )
 
Q ( , , )
 
R ( , , )
 
S ( , , )
 
       
Oblicz pole powierzchni i objętość bryły Z.

 


       
Zadanie B
Wysokość ostrosłupa jest równa 2.
Podaj współrzędne wierzchołków podstawy ostrosłupa:
P ( , , )
 
Q ( , , )
 
R ( , , )
 
S ( , , )
 
       
Oblicz pole powierzchni i objętość bryły Z.

 


       
Zadanie C
Płaszczyzna A'D'W jest płaszczyzną symetrii ostrosłupa.
Podaj współrzędne wierzchołków podstawy ostrosłupa:
P ( , , )
 
Q ( , , )
 
R ( , , )
 
S ( , , )
 
       
Oblicz pole powierzchni i objętość bryły Z.

 


       
Zadanie D
Płaszczyzna A'D'W jest płaszczyzną symetrii ostrosłupa.
Podaj współrzędne wierzchołków podstawy ostrosłupa:
P ( , , )
 
Q ( , , )
 
R ( , , )
 
S ( , , )
 
       
Oblicz pole powierzchni i objętość bryły Z.

 


       
Zadanie E
Wierzchołek A' sześcianu jest środkiem podstawy ostrosłupa. Ściany boczne ostrosłupa są trójkątami prostokątnymi.
Podaj współrzędne wierzchołków podstawy ostrosłupa:
P ( , , )
 
Q ( , , )
 
R ( , , )
 
       
Oblicz pole powierzchni i objętość bryły Z.

 


       
Zadanie F
Wierzchołek A' sześcianu jest środkiem podstawy ostrosłupa. Wszystkie krawędzie ostrosłupa mają jednakową długość.
Podaj współrzędne wierzchołków podstawy ostrosłupa:
P ( , , )
 
Q ( , , )
 
R ( , , )
 
       
Oblicz pole powierzchni i objętość bryły Z.

 


       
Zadanie G
Środki krawędzi sześcianu wychodzących z wierzchołka A' są środkami krawędzi podstawy ostrosłupa.
Podaj współrzędne wierzchołków podstawy ostrosłupa:
P ( , , )
 
Q ( , , )
 
R ( , , )
 
       
Oblicz pole powierzchni i objętość bryły Z.

 


       
Zadanie H*
Wierzchołek A' sześcianu jest środkiem podstawy ostrosłupa. Podstawa ostrosłupa ma bok o długości 2.
Podaj współrzędne wierzchołków podstawy ostrosłupa:
P ( , , )
 
Q ( , , )
 
R ( , , )
 
S ( , , )
 
       
Oblicz pole powierzchni i objętość bryły Z.

 


       
Zadanie I*
Wierzchołek A' sześcianu jest środkiem podstawy ostrosłupa. Podstawa ostrosłupa ma bok długości 2.
Podaj współrzędne wierzchołków podstawy ostrosłupa:
P ( , , )
 
Q ( , , )
 
R ( , , )
 
S ( , , )
 
       
Oblicz pole powierzchni i objętość bryły Z.

 


       
Zadanie J*
Jedna z krawędzi ostrosłupa jest prostopadła do ściany DAA'D' sześcianu.
Podaj współrzędne wierzchołków podstawy ostrosłupa:
P ( , , )
 
Q ( , , )
 
R ( , , )
 
S ( , , )
 
       
Oblicz pole powierzchni i objętość bryły Z.

 


       
Zadanie K*
Jedna z krawędzi ostrosłupa jest prostopadła do ściany AA'D'D sześcianu.
Podaj współrzędne wierzchołków podstawy ostrosłupa:
P ( , , )
 
Q ( , , )
 
R ( , , )
 
S ( , , )
 
       
Oblicz pole powierzchni i objętość bryły Z.

 


       

Wskazówki do K* (oznaczenia jak na rysunku)

Niech P', Q', R', S' oznaczają przecięcia odcinków WP, WQ, WR, WS ze ścianą AA'D'D.

WP = , więc R (,0,0) i T (1/2+/2,1/2,1/2).
Stąd nietrudno obliczyć wymiary ostrosłupa.

Najważniejsza obserwacja: Q, S mają jednakową pierwszą współrzędną: 1/2+/2.

To wystarcza do obliczenia objętości i pola powierzchni Z.
Na przykład:

polePQ'W = 1/(1/2+/2) × polePQW,
poleQ'R'W = 1/(1/2+/2) . 1/ × poleQRW.

Aby obliczyć pole PQ'R'S', wcześniej wyznacz objętość PQ'R'S'W.


 

 

Powrót na górę strony