Kule osadzone w ośmiościanie foremnym są wyzwaniem dla miłośników geometrii. Zobacz, jak wyglądają, i rozwiąż kilka zadań.
Wszystko będzie się działo w ośmiościanie foremnym ABCDEF
o krawędziach długości a = 1.
Warto zauważyć, że można przyjąć:
A(a/, 0, 0),
B(0, a/, 0),
C(-a/, 0, 0),
D(0, -a/, 0),
E(0, 0, a/),
F(0, 0, -a/),
albo
A(a/2, a/2, 0),
B(-a/2, a/2, 0),
C(-a/2, -a/2, 0),
D(a/2, -a/2, 0),
E(0, 0, a/),
F(0, 0, -a/).
Zadanie (1).
W ośmiościanie foremnym o krawędzi a = 1
rozmieszczonych jest 6 jednakowych kul, po jednej w każdym narożu ośmiościanu. Każda jest styczna do ścian schodzących się w tym narożu i styczna zewnętrznie do sąsiednich kul (jak pokazano na rysunku). a)
Wyznacz długość promieni tych kul.
b)
Wyznacz promień największej kuli o środku w środku ośmiościanu, która mieści się pomiędzy tymi kulami (tzn. jest styczna zewnętrznie do wszystkich kul).
Rysunek 3D
Można chwycić myszką i obracać
przezroczystość:
Zadanie (2).
W ośmiościanie foremnym o krawędzi a = 1
rozmieszczonych jest 8 jednakowych kul, po jednej przy każdej ścianie. Każda kula jest styczna do innej ściany i styczna zewnętrznie do sąsiednich kul (jak pokazano na rysunku). a)
Wyznacz długość promieni tych kul. b)
Wyznacz promień największej kuli o środku w środku ośmiościanu, która mieści się pomiędzy tymi kulami (tzn. jest styczna zewnętrznie do wszystkich kul).
Rysunek 3D
Można chwycić myszką i obracać
przezroczystość:
Zadanie (3).
W ośmiościanie foremnym o krawędzi a = 1
rozmieszczonych jest 12 jednakowych kul, po jednej przy każdej krawędzi.Każda kula jest styczna do ścian schodzących się w tej krawędzi i jest styczna zewnętrznie do sąsiednich kul (jak pokazano na rysunku). a)
Wyznacz długość promieni tych kul. b)
Wyznacz promień największej kuli o środku w środku ośmiościanu, która mieści się pomiędzy tymi kulami (tzn. jest styczna zewnętrznie do wszystkich kul).
Rysunek 3D
Można chwycić myszką i obracać
przezroczystość:
Do dalszej lektury zapraszamy tych Czytelników, którzy rozwiązali chociaż jeden podpunkt któregoś z powyższych zadań
Zgrabne rozwiązanie powyższych zadań oparte jest
na dwóch obserwacjach.
Można pomyśleć, że kule z zadań (1), (2), (3) 'wyrosły' tak, że
ich 'nasionka' włożono:
(1) w wierzchołki ośmiościanu,
(2) w środki ścian ośmiościanu,
(3) w środki krawędzi ośmiościanu.
Potem je 'podlewano', więc rosły i rosły, wpychane w głąb ośmiościanu przez jego ściany.
Rosły tak do momentu, gdy miały miejsce, czyli do chwili, gdy spotkały się z innymi kulami.
'Filmy dokumentujące 'hodowlę' kul z zadań (1), (2), (3).
A teraz najważniejsze.
Wyobraźmy sobie, co by było, gdyby kule rosły dalej,
gdyby nie zatrzymało ich wzrostu spotkanie z innymi kulami,
gdyby się przenikały nawzajem, gdyby jedyną barierą dla nich były ściany ośmiościanu.
Poniższe 'filmy' pokazują taki właśnie wzrost pojedynczej kuli.
0.05
0.05
0.05
A tak wyglądałby wzrost wszystkich kul.
0.05
0.05
0.05
W każdym przypadku kule rosną tak długo, aż pokryją się z kulą K wpisaną w ośmiościan ABCDEF.
Puszczając te 'filmy' w drugą stronę, zauważamy kluczową sprawę.
Kule z zadań (1), (2), (3) są kopiami (obrazami) kuli K,
utworzonymi przez jednokładności o środkach w:
(1) wierzchołkach ośmiościanu,
(2) w środkach ścian ośmiościanu,
(3) w środkach krawędzi ośmiościanu.
(Przy czym w poszczególnych zadaniach: (1), (2), (3),
jednokładności mają tą samą skalę.)
Dalej potrzebna jest jeszcze jedna obserwacja.
Styczność kul opisanych w zadaniach (1), (2), (3) ilustruje poniższy rysunek, w którym zbadamy tylko jedną (dowolną) parę takich kul:
- punkty S', S'' są środkami dwóch stycznych kul o (nieznanym) promieniu x,
- punkt O jest środkiem kuli K wpisanej w ośmiościan (r oznacza promień K),
- punkty P', P'' są środkami jednokładności dla tych kul (tam 'zasadzono' te kule), czyli
w zadaniu (1) są to pewne dwa sąsiednie wierzchołki ośmiościanu,
w zadaniu (2) są to środki dwóch sąsiadujących ścian ośmiościanu,
w zadaniu (3) są to środki dwóch boków pewnej ściany ośmiościanu.
skala0.55
Z własności jednokładności mamy:
x / r = P'S' / P'O .
Styczność kul daje nam:
x / P'M = S'O / P'O .
Prawe strony sumują się do 1, czyli
x / r + x / P'M = 1 ,
skąd
x = 1 /
( 1/r + 1/P'M ) .
Ostatecznie:
x = 1 / ( 1/r + 2/P'P'' ) ,
Ten wzór jest już właściwie rozwiązaniem podpunktów a) powyższych zadań.Wystarczy bowiem obliczyć r i w poszczególnych zadaniach znaleźć P'P'' (co zostawiamy Czytelnikowi).
Podpunkty b) też można rozwiązać jednym wzorem, patrząc na powyższy rysunek (co również zostawiamy Czytelnikowi).
Urszula Marciniak - absolwentka matematyki na Uniwersytecie Warszawskim, założycielka wydawnictwa Logi (które działa już od 20 lat), propagatorka łamigłówek logicznych i kultury matematycznego myślenia. Zmarła w 2016 roku w wieku zaledwie 39 lat. Upamiętnia ją rozgrywany od 9 lat w rocznicę jej urodzin łamigłówkowy Memoriał.
W styczniu rozegrano eliminacje do IX edycji Memoriału Urszuli Marciniak. Na Dolnym Śląsku przystąpiło do nich ponad 2300 uczniów z ponad 120 szkół oraz ponad 150 zawodników dorosłych. Zawody finałowe odbędą się w marcu, w ośmiu miastach akademickich w Polsce.
Asia i Basia grają w następującą grę: na przemian piszą na tablicy cyfry (od lewej do prawej), aż do uzyskania liczby 2025-cyfrowej. Asia wygrywa, jeśli uzyskana liczba będzie mieć dzielnik postaci 17...7. Kto ma strategię wygrywającą w tej grze?
W styczniu zapraszamy na warsztaty Piotra Pawlikowskiego z Kluczborka - nauczyciela i modelarza. Uczestnicy wykonają niezwykłe papierowe kumiko o ciekawych własnościach matematycznych.
André Ampére, francuski fizyk i matematyk (1775-1836), stwierdziwszy pewnego razu brak zegarka, wysłał list do przyjaciela, u którego spędził ostatni wieczór. Zapytywał w nim, czy przypadkiem nie zostawił u niego zegarka. Adresat, przeczytawszy list, zobaczył w postscriptum: Przed chwilą znalazł się mój zegarek, więc nie trudź się poszukiwaniem.
, 0, 0),
B(0, a/
Zadanie (1).
W ośmiościanie foremnym o krawędzi a = 1
rozmieszczonych jest 6 jednakowych kul, po jednej w każdym narożu ośmiościanu. Każda jest styczna do ścian schodzących się w tym narożu i styczna zewnętrznie do sąsiednich kul (jak pokazano na rysunku). 
Zadanie (2).
W ośmiościanie foremnym o krawędzi a = 1
rozmieszczonych jest 8 jednakowych kul, po jednej przy każdej ścianie. Każda kula jest styczna do innej ściany i styczna zewnętrznie do sąsiednich kul (jak pokazano na rysunku).
Zadanie (3).
W ośmiościanie foremnym o krawędzi a = 1
rozmieszczonych jest 12 jednakowych kul, po jednej przy każdej krawędzi.Każda kula jest styczna do ścian schodzących się w tej krawędzi i jest styczna zewnętrznie do sąsiednich kul (jak pokazano na rysunku).
