Im więcej, tym... gorzej?

Poniżej widać pewną powierzchnię. Wygląda jak chusteczka. Nazwijmy ją H.
Jej rzutem na płaszczyznę OXY jest kwadrat.
(Jest to wykres pewnej funkcji dwóch zmiennych. Wzoru nie podajemy - to nie jest istotne).

Jak zmierzyć pole powierzchni H ?
Pewien sposób jest widoczny na poniższym rysunku.

Dla ustalonych wartości parametrów n i k wyznaczamy współrzędne (n+1) ^. (k+1) punktów tej powierzchni, których rzuty regularnie wypełniają kwadrat (zobacz 'z góry').
Te punkty są wierzchołkami pewnej kolekcji trójkątów w przestrzeni (jest ich 2 ^. n ^. k).
W tablicach matematycznych można znaleźć wzory pozwalające obliczać pola trójkątów w przestrzeni o zadanych współrzędnych wierzchołków (można też skorzystać ze wzoru Herona).
Suma tak obliczonych pól trójkątów jest pewnym przybliżeniem pola powierzchni H.
Zwiększając n i k, dostajemy inne przybliżenia pola H.

Spodziewamy się, że im większe są n i k, tym lepsze otrzymamy przybliżenie pola H.

Powierzchnia boczna walca o promieniu podstawy R = 1 i wysokości H = 2, po rozcięciu i rozłożeniu jest prostokątem: 2 R × H, więc ma pole 2R ^. H, czyli 4 12.56637.

Spróbujmy na chwilę zapomnieć, że znamy pole powierzchni walca i zastosujmy poprzednie rozumowanie, dostarczające pewnego przybliżenia szukanej wielkości (pola).

Jak poprzednio wybierzmy na powierzchni n ^. (k+1) punktów. Niech będą one rozłożone regularnie na (k+1) poziomach, na każdym po n punktów będących wierzchołkami n-kąta foremnego, przy czym na sąsiednich poziomach punkty są nieco obrócone (o 180^o/n) tak, jak na poniższym rysunku.

Punkty te są wierzchołkami 2nk trójkątów (kliknij ), które przybliżają powierzchnię walca - popatrz 'z góry'. Wszystkie punkty-wierzchołki leżą na powierzchni, trójkąty 'wcinają' się nieco do środka. Można (jak poprzednio) wyznaczyć sumę pól tych trójkątów.

Wydaje się, że zwiększając n i k będziemy dostawać coraz lepsze przybliżenia pola powierzchni bocznej walca.

Okazuje się, że nie zawsze! W pewnych przypadkach jest

Przyjrzyjmy się najpierw, co się dzieje, gdy przy ustalonym n = 4 zwiększamy k.

Dla n = 4 trójkąty są coraz bardziej poziome, składają się jak harmonia.
Patrząc 'z góry', widzimy stale to samo - pierwszy z góry rząd trójkątów.
Łączne pole trójkątów z jednego rzędu jest większe od łącznego pola ich rzutu (na pł. OXY), które jest stałe, nie zależy od k - oznaczmy je P₄ (żółte, które widzimy 'z góry').
Zatem łączne pole wszystkich trójkątów jest większe od k ^. P₄, czyli gdy liczba rzędów k rośnie nieograniczenie, to łączne pole wszystkich trójkątów też rośnie nieograniczenie.
Precyzyjniej: można znaleźć takie k, że k ^. P₄ > 20. Nazwijmy je k₄ .

Dla n = 5 wszystko co powyżej pozostaje prawdziwe.
Istnieje więc k₅ takie, że łączne pole wszystkich trójkątów jest większe od k₅ ^. P₅ > 20.

Dla dowolnego ustalonego n wszystko co powyżej pozostaje prawdziwe.
Istnieje więc k_n takie, że łączne pole wszystkich trójkątów jest większe od k_n ^. P_n > 20.

Coś jest nie tak. Coś się nie zgadza.
Gdy zwiększamy n i k_n dostajemy łączne pole trójkątów większe od 20, a przecież powinniśmy dostawać coraz lepsze przybliżenia pola powierzchni bocznej walca, które jest równe

4 12.56637 < 20 .

Gdzie jest błąd?

Choć opis powyższego rozumowania nie jest precyzyjny, to nie ma w nim błędów, a wszystkie luki można doprecyzować (na koniec tekstu są szczegóły rachunkowe).
Zatem

błąd jest w metodzie!

Oznacza to, że przybliżanie powierzchni coraz drobniejszymi trójkątami nie musi prowadzić do coraz lepszych przybliżeń pola tej powierzchni. To zaskakujące.

Przykład ten pokazuje, że nie zawsze zwiększanie liczby pomiarów zwiększa dokładność informacji o badanej wielkości. Czasami jest wręcz przeciwnie - im więcej, tym gorzej. Czy wiedzą o tym przyrodnicy?

Pozostaje zatem nadal nie rozwiązany problem: jak znajdować przybliżenia pól powierzchni.
Pewne sposoby daje analiza matematyczna - dział matematyki wyższej (o czym tu nie napiszemy).
Obliczanie przybliżeń pola powierzchni jest kłopotliwe, bo samo pojęcie pola powierzchni jest dość trudne (o czym też tu nie napiszemy).

Dla znających trygonometrię 

Na koniec podajemy wzór na sumę pól 2nk trójkątów przybliżających powierzchnię boczną walca o promieniu podstawy R i wysokości H (położonych jak na poprzednich rysunkach).

Wszystkie trójkąty są przystające. Wymiary jednego z nich nietrudno jest wyznaczyć w zależności od kąta zaznaczonego na poniższym rysunku (ma miarę 180^o/n) i wartości: R, H, n, k.

Zatem łączne pole wszytkich trójkątów wyraża się wzorem

Za pomocą pewnych wzorów trygonometrycznych nietrudno uzyskujemy inną postać tego wzoru:

Gdy n jest duże, to wyrażenia w kwadratowych nawiasach są prawie równe 1
(bo   lim (sin x) / x  =  1,  gdy x dąży do 0).
Zatem gdy n jest duże, to suma pól trójkątów jest prawie równa

Dalej widać, że gdy n jest duże i k = n, to suma pól trójkątów jest prawie równa
,
czyli tyle, co pole powierzchni bocznej walca.

Dalej widać, że gdy n jest duże i k = n², to suma pól trójkątów jest prawie równa
,
co jest fatalnym błędem metody!