Równania stopnia zero

Równaniami stopnia zero nazywamy takie równania, w których wszystkie niewiadome występują w zerowych potęgach, tzn. w zapisie równania praktycznie nie ma niewiadomych, bo przecież  x⁰=1. Zatem zamiast pisać  ax⁰+b=0,  równanie ma postać:

a + b = 0,

gdzie a i b oznaczają stałe liczbowe. Taką postać przybiera każde równanie stopnia zero, bez względu na liczbę występujących w nim niewiadomych. Jeśli z zapisu równania nie wynika, z iloma niewiadomymi jest to równanie, informacja taka musi znaleźć się w treści zadania. Inaczej równanie może nie dać się rozwiązać.

Przykłady

• 1 = 0
• 0 = 0
• 5 + 3 = 7
• (100 + 1)(100 - 1) = 10000 - 1
• 2x⁰ = 7           (równanie z jedną niewiadomą)
• x⁰+y⁰ = z⁰      (równanie z trzema niewiadomymi)

Kontrprzykłady

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5                    (to nie jest równanie)
• $\frac{2}{0}=3$                                       (to nie jest równanie)
• x = 0                                       (to nie jest równanie stopnia zero)
• x⁰ + y¹ = z²                             (to nie jest równanie stopnia zero)

Klasyfikacja równań stopnia zero ze względu na rodzaj rozwiązania

Równanie stopnia zero - jak każda równość arytmetyczna, czyli nie zawierająca zmiennych - może być albo sprzeczne (tzn. zawsze fałszywe), albo tożsamościowe (tzn. zawsze prawdziwe). Zatem jego rozwiązaniem  jest albo zbiór pusty$\emptyset$(tzn. równanie nie ma pierwiastków), albo

• cały zbiór liczb rzeczywistych R - jeśli równanie było z jedną niewiadomą (tzn. pierwiestkiem równania jest każda liczba a$\in$R,
• zbiór wszsystkich par liczb rzeczywistych R² - jeśli równanie było z dwiema niewiadomymi (tzn. pierwiastkiem równania jest każda para (a, b)$\in$R²,
• zbiór wszystkich trójek liczb rzeczywistych R³ - jeśli równanie było z trzema niewiadomymi (tzn. pierwiastkiem równania jest każda trójka uporządkowana (a, b, c)$\in$R³ itd.

Przykłady

a) równanie sprzeczne (nie ma pierwiastków, rozwiązaniem jest zbiór pusty$\emptyset$)
1 = 2
2 · 2 = 5
2x⁰ + 3y⁰ = 4z⁰

b) równanie tożsamościowe z jedną niewiadomą
1 = 1
Pierwiastkiem tego równania jest każda liczba rzeczywista, np. 2, -7, ³/₄ lub π.
Rozwiązaniem równania jest zbiór R.

c) równanie tożsamościowe z dwiema niewiadomymi
2x⁰ + 3y⁰ = 3x⁰ + 2y⁰
Pierwiastkiem tego równania jest każda para liczb rzeczywistych, np. (0, 0), (-1, -3), (3, -√2).
Rozwiązaniem równania jest zbiór R². 

d) równanie tożsamościowe z czterema niewiadomymi
2 · 2 = 4
Pierwiastkiem tego równania jest każda czwórka uporządkowana liczb rzeczywistych, np. (0, 2, 1, 3), (-4, ¹/₂, 12, √3).
Rozwiązaniem równania jest zbiór R⁴. 

Rozwiązywanie równań stopnia zero

Rozwiązywanie równania stopnia zero sprowadza się do jego uproszczenia i zbadania, czy jest to równanie:

• sprzeczne - wtedy rozwiazaniem jest zbiór pusty $\emptyset$,
• tożsamościowe - wtedy trzeba stwierdzić, z iloma niewiadomymi jest to równanie i podać odpowiednie rozwiązanie.

Przykłady

1) Rozwiaż równanie z jedną niewiadomą 3 = 0.

Rozwiązanie
Równanie jest sprzeczne. Nie ma pierwiastków. Jego rozwiązaniem jest$\emptyset$.

2) Rozwiaż równanie z trzema niewiadomymi 3 = 0.

Rozwiązanie
Równanie jest sprzeczne. Nie ma pierwiastków. Jego rozwiązaniem jest$\emptyset$.

3) Rozwiąż równanie z jedną niewiadomą $(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})z^0=\frac{1}{6}$.

Rozwiązanie
$(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})z^0=\frac{1}{6}$   lewa strona: wykonujemy działanie w nawiasie
$\frac{1}{6}z^0=\frac{1}{6}$           lewa strona: wykonujemy potęgowanie
$\frac{1}{6}\cdot1=\frac{1}{6}$        lewa strona: wykonujemy mnożenie
$\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$
Równanie jest tożsamościowe. Jego pierwiastkiem jest każda liczba rzeczywista. Jego rozwiązaniem jest zbiór R.

4) Rozwiąż równanie z trzema niewiadomymi $(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})x^0z^0=\frac{1}{6}y^0$.

Rozwiązanie
$(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})x^0z^0=\frac{1}{6}y^0$   lewa strona: wykonujemy działanie w nawiasie
$\frac{1}{6}x^0z^0=\frac{1}{6}y^0$           wkonujemy potęgowanie
$\frac{1}{6}\cdot1=\frac{1}{6}\cdot1$         wykonujemy mnożenie
$\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$
Równanie jest tożsamościowe. Jego pierwiastkiem jest każda trójka uporządkowana liczb rzeczywistych. Jego rozwiązaniem jest zbiór R³.

5) Rozwiąż równanie 70x⁰ + 60 - z⁰ + 30x⁰ + 12y⁰  = 72 + 99y⁰.

Rozwiązanie
70x⁰ + 60 - z⁰ + 30x⁰ + 12y⁰  = 72 + 99y⁰       wykonujemy potęgowanie
70 · 1 + 60 - 1 + 30 · 1 + 12 · 1 = 72 + 99 · 1   wykonujemy mnożenie
70 + 60 - 1 + 30 + 12 = 72 + 99                       wykonujemy dodawanie i odejmowanie
171 = 171
Równanie jest tożsamościowe. Domyślamy się, że jest to równanie z trzema niewiadomymi. Jego pierwiastkiem jest każda trójka uporządkowana liczb rzeczywistych. Jego rozwiązaniem jest zbiór R³.

6) Rozwiąż równanie 171=171.

Rozwiązanie
Równanie jest tożsamościowe, jednak nie wiemy, z iloma niewiadomymi. Nie potrafimy podać rozwiązania.    

A teraz spróbuj sam

1) Wskaż równania stopnia zero. Dlaczego odrzuciłeś pozostałe?

• 0 = 0
  To jest równanie stopnia zero.
• 101 + 102 = 101102
  To jest równanie stopnia zero.
• x - x = 5 - 5
  To nie jest równanie stopnia zero.
• 3⁰ + y = 0
  To nie jest równanie stopnia zero.
• 3 + y⁰ = 0
  To jest równanie stopnia zero.
• (3 + y)⁰ = 0
  To jest równanie stopnia zero.
• 1² + 2² + 3² + ... + n² = $\frac{n(n + 1)(2n + 5)}{6}$ dla pewnej ustalonej liczby naturalnej n
  To jest równanie stopnia zero.
• $1^{x^0} = 1$
  To nie jest równanie stopnia zero.
• $x^{0 + y^0} = 0^z$
  To nie jest równanie stopnia zero.

2) Rozwiąż poniższe równania.

• 2 + 0 + 1 + 2 = 2012, jako równanie z jedną i dwiema niewiadomymi
  a) Jako równanie z jedną niewiadomą - równanie sprzeczne, brak pierwiastków, rozwiązaniem jest $\emptyset$. b) Jako równanie z dwiema niewiadomymi - równanie sprzeczne, brak pierwiastków, rozwiązaniem jest $\emptyset$.
• z⁰= 1, jako równanie z jedną i dwiema niewiadomymi
  a) Jako równanie z jedną niewiadomą - równanie tożsamościowe, każda liczba rzeczywista jest pierwiastkiem, rozwiązaniem jest zbiór R. b) Jako równanie z dwiema niewiadomymi - równanie tożsamościowe, każda uporządkowana para liczb rzeczywistych jest pierwiastkiem, rozwiązaniem jest zbiór R².
• $\sqrt{2} + \sqrt{1,7} = \sqrt{3,7}$
  Równanie sprzeczne, brak pierwiastków, rozwiązaniem jest $\emptyset$.
• $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \pi$
  Równanie sprzeczne, brak pierwiastków, rozwiązaniem jest $\emptyset$.
• $x^{0^{1^{2^{3^{4^{5}}}}}} = 1^{2^{3^{4^{5}}}}$
  Równanie tożsamościowe. Domyślamy się, że jest to równanie z jedną niewiadomą. Jego pierwiastkiem jest każda liczba rzeczywista. Rozwiązaniem jest zbiór R.
• $(\frac{\sqrt{5} + 1}{2})^{-x^0} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} - x^0$
  Równanie tożsamościowe. Domyślamy się, że jest to równanie z jedną niewiadomą. Jego pierwiastkiem jest każda liczba rzeczywista. Rozwiązaniem jest zbiór R.
• 1y₁⁰ + 3y₂⁰ + ... + 97y₄₈⁰ + 99y₄₉⁰ = 49²
  Równanie tożsamościowe. Domyślamy się, że jest to równanie z czterdziestoma dziewięcioma niewiadomymi. Jego pierwiastkiem jest każda uporządkowana czterdziestodziewiątka liczb rzeczywistych. Rozwiązaniem jest zbiór R⁴⁹.
• $1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + ...}}} = \sqrt{2}$
  Równanie tożsamościowe, jednak nie wiemy z iloma niewiadomymi. Nie potrafimy podać jego rozwiązania.