Równania liniowe z dwiema i trzema niewiadomymi

Równania z dwiema niewiadomymi zawierają dwie zmienne, zwykle oznaczone jednymi z ostatnich liter alfabetu, np. x i y. Równania liniowe (nazywane też równaniami stopnia pierwszego) to takie równania, w których wszystkie niewiadome występują co najwyżej w pierwszej potędze. Zatem równania liniowe z dwiema niewiadomymi wyglądają tak:

ax + by + c = 0,

gdzie a, b, c oznaczają dane współczynniki liczbowe, przy czym przynajmniej jedna z liczb a i b jest różna od zera.

Czasem równanie liniowe z dwiema niewiadomymi mają taki sam zapis, jak równanie liniowe z jedną niewiadomą, np. 2x+3y = 3y-7 jest równoważne równaniu 2x=-7.  W treści zadania musi wtedy znaleźć się informacja, ile zmiennych ma to równanie, gdyż w przeciwnym razie, może ono nie dać się rozwiązać (nie będziemy wiedzieli, czy pierwiastkami mają być liczby, czy pary liczb).

Przykłady

• 2x + 5y + 7 = 0
• x + y = 0
• -x = 8y
• 3y - 11 $\sqrt{2}$x 
• $\frac{x + y}{2} = 3$
• 5x + 2y-5 = 2y+5

Kontrprzykłady

• $\frac{2}{x + y} = 3$                                  (to nie jest równanie liniowe)
• x² + y² = 25                                   (to nie jest równanie liniowe)
• 5 = 0                                              (to nie jest równanie liniowe)
• x + y + z = 0                                   (to nie jest równanie z dwiema niewiadomymi)
• 12x - 15(y-3) = 15x + 12(z + 3)     (to nie jest równanie z dwiema niewiadomymi)

 

Rozwiązywanie  równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Najpierw doprowadzamy równanie do postaci ax + by + c = 0, a potem stosujemy metodę równań równoważnych. W zależności od tego, które ze współczynników a i b są różne od zera, postępujemy według jednego z poniższych schematów.

1) a=0 i b≠0
Otrzymujemy równanie liniowe 0x+by+c =0, które nie zależy od x.  Stąd y = - $\frac{c}{b}$. Zatem pierwiastkiem równania jest każda para liczb postaci (r, - $\frac{c}{b}$), gdzie r$\in$R wybieramy dowolnie. Rozwiązaniem równania jest zbiór wszystkich takich par, czyli {(r, - $\frac{c}{b}$) : r$\in$R}. Jest to prosta pozioma prostopadła do osi OY w punkcie (0, - $\frac{c}{b}$).

2) a≠0 i b=0
Otrzymujemy równanie liniowe ax+0y+c =0, które nie zależy od y. Stąd x = - $\frac{c}{a}$. Zatem pierwiastkiem równania jest każda para liczb postaci (- $\frac{c}{a}$, r), gdzie r$\in$R wybieramy dowolnie. Rozwiązaniem równania jest zbiór wszystkich takich par, czyli {(- $\frac{c}{b}$, r) : r$\in$R}. Jest to prosta pionowa prostopadła do osi OX w punkcie (- $\frac{c}{a}$, 0).

3) a≠0 i b≠0
Przekształcamy równanie do postaci równoważnej
y = - $\frac{a}{b}$x - $\frac{c}{b}$. Pierwiastkiem tego równania jest każda para liczb postaci (r, - $\frac{a}{b}$r - $\frac{c}{b}$), gdzie r$\in$R wybieramy dowolnie. Rozwiązaniem równania jest zbiór wszystkich takich par, czyli {(r, - $\frac{a}{b}$r - $\frac{c}{b}$) : r$\in$R}. Jest to prosta, która przecina oś OX w punkcie (- $\frac{c}{a}$, 0), a oś OY w punkcie (0, - $\frac{c}{b}$).
Uwaga dla licealistów: można powiedzieć, że jest to prosta pochylona do osi OX pod kątem, którego tangens wynosi - $\frac{a}{b}$.

Przykłady

Rozwiąż równania z dwiema niewiadomymi.

1) y + 2x - 1 = 0

Rozwiązanie
y + 2x - 1 = 0     /+1
y + 2x = 1     /-2x
y = -2x + 1
Pierwiastkiem równania jest każda para liczb postaci (r, -2r+1), gdzie r jest dowolną liczbą rzeczywistą, np. pierwiastkami tego równania są pary (0, 1), (1, -1), (-1, 3) ($\frac{1}{2}$, 0) i inne. Rozwiązaniem równania są wszystkie takie pary, czyli zbiór
{(r, -2r+1) : r$\in$R}. Pary te tworzą na płaszczyźnie prostą, przechodzącą przez punkty na osiach: (0, 1) i ($\frac{1}{2}$, 0).

2) 63x - 7y + 14 = 0

Rozwiązanie
63x - 7y + 14 = 0     /:7
9x - y + 2 = 0     /-(9x + 2)
-y = -9y - 2     /·(-1)
y = 9x + 2
Pierwiastkiem równania jest każda para liczb postaci (r, 9r+2), gdzie r jest dowolną liczbą rzeczywistą, np. pierwiastkami tego równania są pary (0, 2), (1, 11), (-1, -7) (- $\frac{2}{9}$, 0) i inne. Rozwiązaniem równania są wszystkie takie pary, czyli zbiór
{(r, 9r+2) : r$\in$R}. Pary te tworzą na płaszczyźnie prostą, przechodzącą przez punkty na osiach: (0, 2) i (- $\frac{2}{9}$, 0).

3) 0,5y = 11

Rozwiązanie
0,5y = 11     /:0,5
y = 22
Pierwiastkiem równania jest każda para liczb postaci (r, 22), gdzie r jest dowolną liczbą rzeczywistą, np. pierwiastkami tego równania są pary (0, 22), (1, 22), (-1, 22), ($\pi$, 22) i inne. Rozwiązaniem równania są wszystkie takie pary, czyli zbiór
{(r, 22) : r$\in$R}. Pary te tworzą na płaszczyźnie prostą poziomą przechodzącą przez punkt (0, 22).

4) 0,5x = 11

Rozwiązanie
0,5x = 11     /:0,5
x = 22
Pierwiastkiem równania jest każda para liczb postaci (22, r), gdzie r jest dowolną liczbą rzeczywistą, np. pierwiastkami tego równania są pary (22, 0), (22, 1), (22, -1), (22,$\pi$) i inne. Rozwiązaniem równania są wszystkie takie pary, czyli zbiór {(22, r) : r$\in$R}. Pary te tworzą na płaszczyźnie prostą pionową przechodzącą przez punkt (22, 0).

5) (x - 1) + 3(x - 1) + 5(x - 1) + 7(x - 1) = -16

Rozwiązanie
(x - 1) + 3(x - 1) + 5(x - 1) + 7(x - 1) = -16     wyłączamy wspólny czynnik przed nawias
(x - 1)(1 + 3 + 5 + 7) = -16                             wykonujemy dodawanie w II nawiasie
(x - 1)·16 = -16     /:16
x - 1 = -1     /+1
x = 0
Pierwiastkiem równania jest każda para liczb postaci (0, r), gdzie r jest dowolną liczbą rzeczywistą, np. pierwiastkami tego równania są pary (0, 0), (0, 1), (0, -1), (0, -117), (0, $\pi$) i inne. Rozwiązaniem równania są wszystkie takie pary, czyli zbiór {(0, r) : r$\in$R}. Pary te tworzą na płaszczyźnie oś OY.

6) 2(x+y) = 2x + 2y

Rozwiązanie
Równanie to jest równoważne równaniu stopnia zero z dwiema niewiadomymi 0 = 0. Jest to równanie tożsamościowe, którego pierwiastkiem jest każda para (p, r) liczb rzeczywistych, a rozwiązaniem jest zbiór wszystkich takich par, czyli R² = {(p, r) : p, r$\in$ R}. Pary te tworzą całą płaszczyznę.

7) 2x + y = 2x + y +7

Rozwiązanie
Równanie to jest równoważne równaniu stopnia zero z dwiema niewiadomymi 0 = 7. Jest to równanie sprzeczne, które nie ma pierwiastków, a jego rozwiązaniem jest zbiór pusty $\emptyset$.

A teraz spróbuj sam

1) Wskaż równania liniowe z dwiema niewiadomymi. Dlaczego odrzuciłeś pozostałe?

• x + y + 1 = 0
  To jest równanie liniowe z dwiema niewiadomymi.
• 3 ^{x + y + 1} = 3⁰
  To nie jest równanie liniowe.
• x + 2y + 3 = 3x + 2y + 1
  To jest równanie liniowe z dwiema niewiadomymi.
• $\frac{1}{x}-\frac{1}{y} = 5$
  To nie jest równanie liniowe.
• y - 7 = z
  To jest równanie liniowe z dwiema niewiadomymi.
• 0,5 + y₁ - 2,5y₂ = 3,5x
  To nie jest równanie z dwiema niewiadomymi.

2) Rozwiąż poniższe równania i podaj ich pierwiastki.

• y = x
  Pierwiastkiem równania jest każda para liczb postaci (r, r), gdzie r jest dowolną liczbą rzeczywistą.
• 2x + 2y = 2x - y
  Pierwiastkiem równania jest każda para liczb postaci (r, 0), gdzie r jest dowolną liczbą rzeczywistą.
• x - y + 2x + y + 3x - y + 4x + y = 5
  Pierwiastkiem równania jest każda, para liczb postaci ($\frac{1}{2}$, r), gdzie r jest dowolną liczbą rzeczywistą.
• x + 2y - 5 = 0
  Pierwiastkiem równania jest każda para liczb postaci (r, $-\frac{1}{2}r+\frac{5}{2}$), gdzie r jest dowolną liczbą rzeczywistą.
• $\frac{2x + 6 - 3y}{6} - \frac{x}{3} = 6 - 0,5y$
  To równanie nie ma żadnego pierwiastka.
• y - x = -(x - y)
  Pierwiastkiem równania jest każda para liczb (p, r), gdzie p, r$\in$R.

 

Równania liniowe z trzema niewiadomymi wyglądają podobnie do tych z dwiema niewiadomymi, ale dodatkowo zawierają trzecią zmienną, oznaczoną np. literą z. Równania te mają zatem postać:

ax + by + cz + d = 0,

gdzie a, b, c, d oznaczają dane współczynniki liczbowe, przy czym przynajmniej jedna z liczb a, b i c jest różna od zera.

Czasem równanie liniowe z trzema niewiadomymi ma taki sam zapis, jak równanie liniowe z jedną niewiadomą (np. 2x+3y-z = 3y-7-z jest równoważne równaniu 2x=-7) albo z dwiema niewiadomymi (np. równanie (2x+3y+z=z+1 jest równoważne równaniu 2x+3y=1). W treści zadania musi wtedy znaleźć się informacja, ile zmiennych ma to równanie, gdyż w przeciwnym razie, może ono nie dać się rozwiązać (nie będziemy wiedzieli, czy pierwiastkami mają być liczby, pary liczb, czy trójki liczb).

Przykłady

• x + 2y + 3z + 4 = 0
• z = 11x + 0,11y
• x + y + z = x + y + 2z
• $\frac{x + 4}{3} = \frac{1}{9}(z + 2y + 3x)$

Kontrprzykłady

• x + y + z + t + 1 = 0                          (to nie jest równanie z trzema niewiadomymi)
• 3x₁ - 6x₂ + 9x₃ - 12y + 15z = 0,3      (to nie jest równanie z trzema niewiadomymi)
• x² + y² + z² = 3²                               (to nie jest równanie liniowe)
• $\frac{1}{x} + 2y + 3z + 4 = 0$                       (to nie jest równanie liniowe)
• xyz = 7·8·9                                         (to nie jest równanie liniowe)

 

Rozwiązywanie równań liniowych z trzema niewiadomymi

Najpierw doprowadzamy równanie do postaci ax + by + cz + d = 0, a potem stosujemy metodę równań równoważnych. W zależności od tego, które ze współczynników a, b i c są różne od zera, postępujemy według jednego z poniższych schematów.

1) a=0, b=0, c≠0

Otrzymujemy równanie liniowe 0x+0y+cz+d =0, które nie zależy od x ani od y.  Stąd z = - $\frac{d}{c}$. Zatem pierwiastkiem równania jest każda trójka liczb postaci (p, r, - $\frac{d}{c}$), gdzie
p, r$\in$R wybieramy dowolnie. Rozwiązaniem równania jest zbiór wszystkich takich trójek, czyli zbiór
{(p, r, - $\frac{d}{c}$) : p, r$\in$R}. Jest to płaszczyzna pozioma prostopadła do osi OZ w punkcie (0, 0, - $\frac{d}{c}$).

2) a=0, b≠0, c=0

Otrzymujemy równanie liniowe 0x+by+0z+d =0, które nie zależy od x ani od z.  Stąd y = - $\frac{d}{b}$. Zatem pierwiastkiem równania jest każda trójka liczb postaci (p, - $\frac{d}{b}$, r), gdzie
p, r$\in$R wybieramy dowolnie. Rozwiązaniem równania jest zbiór wszystkich takich trójek, czyli zbiór
{(p, - $\frac{d}{b}$, r) : p, r$\in$R}. Jest to płaszczyzna pionowa prostopadła do osi OY w punkcie (0, - $\frac{d}{b}$, 0).

3) a≠0, b=0, c=0

Otrzymujemy równanie liniowe ax+0y+0z+d =0, które nie zależy od y ani od z.  Stąd x = - $\frac{d}{a}$. Zatem pierwiastkiem równania jest każda trójka liczb postaci (- $\frac{d}{a}$, p, r), gdzie
p, r$\in$R wybieramy dowolnie. Rozwiązaniem równania jest zbiór wszystkich takich trójek, czyli zbiór
{(- $\frac{d}{a}$, p, r) : p, r$\in$R}. Jest to płaszczyzna pionowa prostopadła do osi OX w punkcie (- $\frac{d}{a}$, 0, 0).

4) a=0, b≠0, c≠0

Otrzymujemy równanie liniowe 0x+by+cz+d =0, które nie zależy od x.  Stąd z = - $\frac{b}{c}y-\frac{d}{c}$. Zatem pierwiastkiem równania jest każda trójka liczb postaci (p, r, - $\frac{b}{c}r-\frac{d}{c}$), gdzie p, r$\in$R wybieramy dowolnie. Rozwiązaniem równania jest zbiór wszystkich takich trójek, czyli zbiór
{(p, r, - $\frac{b}{c}r-\frac{d}{c}$) : p, r$\in$R}. Jest to płaszczyzna równoległa do osi OX, przecinająca oś OY w punkcie (0, - $\frac{d}{b}$, 0), a oś OZ w punkcie (0, 0, - $\frac{d}{c}$), czyli przecinająca płaszczyznę YZ wzdłuż prostej o równaniu by+cz+d = 0.

5) a≠0, b=0, c≠0

Otrzymujemy równanie liniowe ax+0y+cz+d =0, które nie zależy od y.  Stąd z = - $\frac{a}{c}y-\frac{d}{c}$. Zatem pierwiastkiem równania jest każda trójka liczb postaci (p, r, - $\frac{a}{c}p-\frac{d}{c}$), gdzie p, r$\in$R wybieramy dowolnie. Rozwiązaniem równania jest zbiór wszystkich takich trójek, czyli zbiór
{(p, r, - $\frac{a}{c}p-\frac{d}{c}$) : p, r$\in$R}. Jest to płaszczyzna równoległa do osi OY, przecinająca oś OX w punkcie (- $\frac{d}{a}$, 0, 0) a oś OZ w punkcie (0, 0, - $\frac{d}{c}$), czyli przecinająca płaszczyznę XZ wzdłuż prostej o równaniu ax+cz+d = 0.

6) a≠0, b≠0, c=0

Otrzymujemy równanie liniowe ax+by+0z+d =0, które nie zależy od z.  Stąd y = - $\frac{a}{b}y-\frac{d}{b}$. Zatem pierwiastkiem równania jest każda trójka liczb postaci (p, - $\frac{a}{b}p-\frac{d}{b}$, r), gdzie p, r$\in$R wybieramy dowolnie. Rozwiązaniem równania jest zbiór wszystkich takich trójek, czyli zbiór
{(p, - $\frac{a}{b}p-\frac{d}{b}$, r) : p, r$\in$R}. Jest to płaszczyzna pionowa przecinająca oś OX w punkcie (- $\frac{d}{a}$, 0, 0), a oś OY w punkcie (0, - $\frac{d}{b}$, 0), czyli przecinająca płaszczyznę XY wzdłuż prostej o równaniu ax+by+d = 0.

7) a≠0, b≠0, c≠0

Przekształcamy równanie do postaci z = - $\frac{a}{c}x-\frac{b}{c}y-\frac{d}{c}$. Zatem pierwiastkiem równania jest każda trójka liczb postaci (p, r, - $\frac{a}{c}p-\frac{b}{c}r-\frac{d}{c}$), gdzie p, r$\in$R wybieramy dowolnie. Rozwiązaniem równania jest zbiór wszystkich takich trójek, czyli zbiór
{(p, r, - $\frac{a}{c}p-\frac{b}{c}r-\frac{d}{c}$) : p, r$\in$R}.

Jest to płaszczyzna położona w przestrzeni w ogólny sposób (nierównoległa do żadnej z osi układu współrzędnych) przecinająca oś OX w punkcie
(- $\frac{d}{a}$, 0, 0), oś OY w punkcie (0, - $\frac{d}{b}$, 0), a oś OZ w punkcie (0, 0, - $\frac{d}{c}$), czyli przecinająca płaszczyznę XY wzdłuż prostej o równaniu ax+by+d = 0, płaszczyznę XZ wzdłuż prostej o równaniu ax+cz+d = 0 i płaszczyznę YZ wzdłuż prostej o równaniu by+cz+d = 0.

 

Przykłady

Rozwiąż równania z trzema niewiadomymi.

1) 5z - 5 = 15y - 10x - 5

Rozwiązanie
5z - 5 = 15y - 10x - 5     /+5
5z = 15y - 10x     /:5
z = 3y - 2x
Pierwiastkiem równania jest każda trójka liczb postaci (p, r, 3r-2p), gdzie p i r są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, np. pierwiastkami tego równania są trójki (0, 0, 0), (0, 1, 3), (1, 0, -2), (1, 1, 1) i inne. Rozwiązaniem równania są wszystkie takie trójki, czyli zbiór
{(p, r, 3r-2p) : p, r$\in$R}.

Tworzą one w przestrzeni płaszczyznę przechodzącą przez początek układu (0, 0, 0) i punkty: (0, 1, 3) i (1, 0, -2).

 

2) 1000 + 100x + 10y + z = 0

Rozwiązanie

1000 + 100x + 10y + z = 0     /-z

1000 + 100x + 10y = -z     /:(-1)

-1000 - 100x - 10y = z

z = -100x - 10y - 1000

Pierwiastkiem równania jest każda trójka liczb postaci (p, r, -100p - 10r - 1000), gdzie p i r są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, np. pierwiastkami tego równania są trójki (0, 0, -1000), (0, -100, 0), (-10, 0, 0), (-9, -9, -10) i inne. Rozwiązaniem równania są wszystkie takie trójki, czyli zbiór
{(p, r, -100p - 10r - 1000) : p, r$\in$R}.

Tworzą one w przestrzeni płaszczyznę przecinającą osie układu współrzędnych w punktach (-10, 0, -0), (0, -100, 0), (0, 0, -1000).

 

3) 2x + 3y + 4x + 5y = 2z + 4 + 8y

Rozwiązanie

2x + 3y + 4x + 5y = 2z + 4 + 8y                 lewa strona: grupujemy wyrazy podobne
(2x + 4x) + (3y + 5y) = 2z + 4 + 8y            lewa strona: wykonujemy działania w nawiasach
6x + 8y = 2z + 4 + 8y     /-8y
6x = 2z + 4     /:2
3x = z + 2     /-2
z = 3x - 2

Pierwiastkiem równania jest każda trójka liczb postaci (p, r, 3p-2), gdzie p i r są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, np. pierwiastkami tego równania są trójki (0, 0, -2), (²/₃, 0, 0),
(0, 17, -2), (²/₃, √3, 0) i inne. Rozwiązaniem równania są wszystkie takie trójki, czyli zbiór
{(p, r, 3p-2) : p, r$\in$R}.

Tworzą one w przestrzeni płaszczyznę równoległą do osi OY i przechodzącą przez następujące punkty na pozostałych osiach: (0, 0, -2) i (²/₃, 0, 0).

 

4) x + y + z = x + 1

Rozwiązanie

x + y + z = x + 1     /-(x + y)

z = -y + 1

Pierwiastkiem równania jest każda trójka liczb postaci (p, r, -r + 1), gdzie p i r są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, np. pierwiastkami tego równania są trójki (0, 0, 1), (0, 1, 0),
(5, 0, 1), (-2, 1, 0) i inne. Rozwiązaniem równania są wszystkie takie trójki, czyli zbiór
{(p, r, -r + 1) : p, r$\in$R}.

Tworzą one w przestrzeni płaszczyznę równoległą do osi OX i przechodzącą przez następujące punkty na pozostałych osiach: (0, 1, 0) i (0, 0, 1).

 

5) -3(x - y - z) - 3(1 - ¹/₃x + z) = 0

Rozwiązanie

-3(x - y - z) - 3(1 - ¹/₃x + z) = 0    lewa strona: wyłaczamy wspólny czynnik przed nawias

(-3)(x - y - z + 1 - ¹/₃x + z) = 0     lewa strona: grupujemy wyrazy podobne

(-3)((x - ¹/₃x) + (-z + z) - y + 1) = 0     lewa strona: redukujemy wyrazy podobne

(-3) (²/₃x - y + 1) = 0     /:(-3)

²/₃x - y + 1 = 0     /+y

²/₃x + 1 = y

Pierwiastkiem równania jest każda trójka liczb postaci (p, ²/₃p + 1 , r), gdzie p i r są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, np. pierwiastkami tego równania są trójki (0, 1, 0), (-³/₂, 0, 0), (0, 1, -17), (3, 3, $\sqrt{2}$) i inne. Rozwiązaniem równania są wszystkie takie trójki, czyli zbiór
{(p, ²/₃p + 1, r) : p, r$\in$R}.

Tworzą one w przestrzeni płaszczyznę równoległą do osi OZ i przechodzącą przez następujące punkty na pozostałych osiach: (-³/₂, 0, 0) i (0, 1, 0).

 

6) 9x + 3√3y + 3z = 3(z + √3(y + 1))

Rozwiązanie

9x + 3√3y + 3z = 3(z + √3(y + 1))     /:3

3x + √3y + z = z + √3(y + 1)     prawa strona: wykonujemy mnożenie

3x + √3y + z = z + √3y + √3     /-(√3y + z)

3x = √3     /:3

x = ^√3/₃

Pierwiastkiem równania jest każda trójka liczb postaci (^√3/₃, p, r), gdzie p i r są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, np. pierwiastkami tego równania są trójki (^√3/₃, 0, 0), (^√3/₃, 2, -3),
(^√3/₃, √2, -¹/₂) i inne. Rozwiązaniem równania są wszystkie takie trójki, czyli zbiór
{(^√3/₃, p, r) : p, r$\in$R}.

Tworzą one w przestrzeni płaszczyznę pionową prostopadłą do osi OX, przechodzącą przez punkt o współrzędnych (^√3/₃, 0, 0).

 

7) $\frac{z + 1}{2} + \frac{x + 2}{3} + \frac{y + 3}{4} = \frac{4x + 3y}{12}$

Rozwiązanie

$\frac{z + 1}{2} + \frac{x + 2}{3} + \frac{y + 3}{4} = \frac{4x + 3y}{12}$     /·12

6z + 6 + 4x + 8 +3y + 9 = 4x + 3y     /-(4x + 3y + 23)

6z = -23     /:6

$z = -\frac{23}{6} = -3\frac{5}{6}$

Pierwiastkiem równania jest każda trójka liczb postaci (p, r, $-3\frac{5}{6}$), gdzie p i r są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, np. pierwiastkami tego równania są trójki (0, 0, $-3\frac{5}{6}$), (1, 7, $-3\frac{5}{6}$),
($\frac{1}{17}$, -4, $-3\frac{5}{6}$) i inne. Rozwiązaniem równania są wszystkie takie trójki, czyli zbiór
{( p, r,$-3\frac{5}{6}$) : p, r$\in$R}.

Tworzą one w przestrzeni płaszczyznę poziomą prostopadłą do osi OZ, przechodzącą przez punkt o współrzędnych (0, 0, $-3\frac{5}{6}$).

 

8) $\sqrt{3}y + \sqrt{5}z = -\sqrt{144} + \sqrt{\sqrt{3^2 + 4^2}}z$

Rozwiązanie

$\sqrt{3}y + \sqrt{5}z = -\sqrt{144} + \sqrt{\sqrt{3^2 + 4^2}}z$
prawa strona: wykonujemy pierwsze pierwiastkowanie i potęgowania pod pierwiastkami
$\sqrt{3}y + \sqrt{5}z = -12 + \sqrt{\sqrt{9 + 16}}z$
prawa strona: wykonujemy dodawanie pod pierwiastkami
$\sqrt{3}y + \sqrt{5}z = -12 + \sqrt{\sqrt{25}}z$
prawa strona: wykonujemy wewnętrzne pierwiastkowanie
$\sqrt{3}y + \sqrt{5}z = -12 + \sqrt{5}z$     /-$\sqrt{5}z$
$\sqrt{3}y= -12$     /:$\sqrt{3}$
$y = -\frac{12}{\sqrt{3}}$
prawa strona: usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez √3
y = - $\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}^2}$ = -4√3
Pierwiastkiem równania jest każda trójka liczb postaci (p, -4√3, r), gdzie p i r są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, np. pierwiastkami tego równania są trójki (0, -4√3, 0), (1, -4√3, -1),
(π, -4√3, -117) i inne. Rozwiązaniem równania są wszystkie takie trójki, czyli zbiór
{(p, -4√3, r) : p, r$\in$R}.

Tworzą one w przestrzeni płaszczyznę pionową prostopadłą do osi OY, przechodzącą przez punkt o współrzędnych (0, -4√3, 0).
rys. 22

9) 2(x+y+z) = 2x + 2y +2z

Rozwiązanie
Równanie to jest równoważne równaniu stopnia zero z trzema niewiadomymi 0 = 0. Jest to równanie tożsamościowe, którego pierwiastkiem jest każda trójka (p, q, r) liczb rzeczywistych, a rozwiązaniem jest zbiór wszystkich takich trójek, czyli R³ = {(p, q, r) : p, q, r$\in$ R}. Trójki te tworzą całą przestrzeń.

10) 2x + y - 5z = 2x + y - 5z +7

Rozwiązanie
Równanie to jest równoważne równaniu stopnia zero z trzema niewiadomymi 0 = 7. Jest to równanie sprzeczne, które nie ma pierwiastków, a jego rozwiązaniem jest zbiór pusty $\emptyset$.

 

A teraz spróbuj sam 

1) Wskaż równania liniowe z trzema niewiadomymi. Dlaczego odrzuciłeś pozostałe?

• x⁰ + y¹ + z² + 1 = 0
  To nie jest równanie liniowe.
• (x + y + z)¹ = 2²
  To jest równanie liniowe z trzema niewiadomymi.
• $\frac{x+y}{2} = \frac{x + z}{3} = \frac{1}{6}$
  To nie jest równanie.
• $\frac{x+y}{2}-\frac{x + z}{3}=\frac{1}{6}$
  To jest równanie liniowe z trzema niewiadomymi.
• 5 = 0
  To nie jest równanie liniowe.
• x - 2(y - 3(z - 4t)) = 5
  To nie jest równanie z trzema niewiadomymi.
• y₁ - y₂ + y₃ - 17 = 1 - 2 + 3 - 17
  To jest równanie liniowe z trzema niewiadomymi.
• 17y₁y₂y₃ = 17·1·2·3
  To nie jest równanie liniowe.
• y + z₁ - z₂ = z₂ + z₁ - y
  To jest ównanie liniowe z trzema niewiadomymi.
• $\frac{x_1 + y_1 - z_1}{\sqrt{2}} = \frac{x_2 - y_2 + z_2}{\sqrt{3}}$
  To nie jest równanie z trzema niewiadomymi.

2) Rozwiąż poniższe równania z trzema niewiadomymi i podaj ich pierwiastki

• z + x = 2y + x + 2
  Pierwiastkiem równania jest każda trójka liczb postaci(p, r, 2r + 2), gdzie p i r są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
• 5x + 7y - 19z + 8 = 0
  Pierwiastkiem równania jest każda trójka liczb postaci(p, r, $\frac{5}{19}p+\frac{7}{19}r+\frac{8}{19}$), gdzie p i r są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
• 3z - 6(x - 2y) = 2(6y + z)
  Pierwiastkiem równania jest każda trójka liczb postaci(p, r, 6p), gdzie p i r są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
• $\frac{1}{5}(x - \frac{1}{7}(y - z + \frac{1}{9})) = \frac{1}{9}(z - \frac{1}{7}(y - x - \frac{1}{5}))$
  Pierwiastkiem równania jest każda trójka liczb postaci(p, r, $\frac{29}{13}x-\frac{2}{13}y-\frac{1}{13}$), gdzie p i r są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
• $\sqrt{2}z + (\sqrt{2} - 1)(x - y + 1) = \frac{z - y + x}{\sqrt{2} + 1}$
  Pierwiastkiem równania jest każda trójka liczb postaci(p, r, $1-\sqrt{2}$), gdzie p i r są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
• 2⁰z + (2⁰ + 2²)y - (2¹ + 2⁵)x = 1z + 101y - 100010x
  Pierwiastkiem równania jest każda trójka liczb postaci(p, $-1042\frac{1}{8}p$, r), gdzie p i r są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
• $(\frac{\pi - 3,14}{\sqrt{2} - 1,41 + \sqrt{3} - 1,73} - 1)x = 0$
  Pierwiastkiem równania jest każda trójka liczb postaci(0, p, r), gdzie p i r są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
• $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}z = \frac{2z}{\sqrt{5} - 1}$
  Pierwiastkiem równania jest każda trójka liczb (p, r, s), gdzie p, r, s $\in$R.
• $\frac{1 + \sqrt{6}}{2}(1 + \frac{2}{5}(x + y - z)) = \frac{2}{\sqrt{6} - 1}(x + y - z + 1)$
  To równanie nie ma żadnego pierwiastka.

 

Równania liniowe z n niewiadomymi zawierają n zmiennych, każdą w potędze co najwyżej jeden i co najmniej jeden współczynnik liczbowy przy tych zmiennych jest różny od zera. 

Poza szczególnymi przypadkami równań tożsamościowych lub sprzecznych rozwiązania równań liniowych

• z 2 niewiadomymi stanowią jednowymiarową prostą na dwuwymiarowej płaszczyźnie,
• z 3 niewiadomymi stanowią dwuwymiarową płaszczyznę w trójwymiarowej przestrzeni.

Analogicznie rozwiązania równań liniowych

• z 4 niewiadomymi tworzą trójwymiarową przestrzeń w czterowymiarowej przestrzeni,
• z 5 niewiadomymi tworzą czterowymiarową przestrzeń w pięciowymiarowej przestrzeni,
• itd.
• z n niewiadomymi tworzą (n-1)-wymiarową przestrzeń w przestrzeni n-wymiarowej.

Rozwiązywanie równań z n niewiadomymi polega na tym, że wartości dla (n-1) zmiennych wybieramy dowolnie, a wartość n-tej zmiennej wyliczamy z podanego równania.

Przykłady

1) Rozwiąż równanie z czterema niewiadomymi

x₄ = 2x₁ + 8x₂ - 7x₃ + 1

Rozwiązanie

Pierwiastkiem równania jest każda czwórka liczb postaci (p₁, p₂, p₃, 2p₁ + 8p₂ - 7p₃ + 1 ), gdzie p₁, p₂ i  p₃ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, np. pierwiastkami tego równania są czwórki (0, 0, 0, 1), (0, 0, ¹/₇, 0), (0, -¹/₈, 0, 0), (-¹/₂, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 4) i inne. Rozwiązaniem równania są wszystkie takie czwórki, czyli zbiór
{ (p₁, p₂, p₃, 2p₁ + 8p₂ - 7p₃ + 1 ): p₁, p_2, p₃ $\in$R}. Tworzą one trójwymiarową przestrzeń w przestrzeni czterowymiarowej przecinającą osie układu współrzędnych w punktach (0, 0, 0, 1), (0, 0, ¹/₇, 0), (0, -¹/₈, 0, 0), (-¹/₂, 0, 0, 0).

2) Rozwiąż równanie z pięcioma niewiadomymi

$2x_3-15x_5-\frac{1}{2}x_1=x_4- x_2$

Rozwiązanie

$2x_3-15x_5-\frac{1}{2}x_1=x_4-x_2$     /$-(2x_3-\frac{1}{2}x_1)$

$-15x_5=\frac{1}{2}x_1-x_2-2x_3+x_4$     /:(-15)

$x_5=-\frac{1}{30}x_1+\frac{1}{15}x_2+\frac{2}{15}x_3-\frac{1}{15}x_4$

Pierwiastkiem równania jest każda piątka liczb postaci (p₁, p₂, p₃, p₄, $-\frac{1}{30}p_1+\frac{1}{15}p_2+\frac{2}{15}p_3-\frac{1}{15}p_4$), gdzie p₁, p₂, p₃ i p₄ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, np. pierwiastkami tego równania są piątki (0, 0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, $-\frac{1}{30}$), (0, 1, 0, 0, $\frac{1}{15}$), (0, 0, 1, 0, $\frac{2}{15}$ ), (0, 0, 0, 1, $-\frac{1}{15}$), (-30, 15, $\frac{15}{2}$, -15, 4) i inne. Rozwiązaniem równania są wszystkie takie czwórki, czyli zbiór
{(p₁, p₂, p₃, p₄, $-\frac{1}{30}p_1+\frac{1}{15}p_2+\frac{2}{15}p_3-\frac{1}{15}p_4$: p₁, p₂, p₃, p₄$\in$R}. Tworzą one czterowymiarową przestrzeń w przestrzeni pięciowymiarowej przechodzącą przez początek ukłądu współrzędnych (0, 0, 0, 0, 0).

3) Rozwiąż równanie z siedmioma niewiadomymi

$2x_3 + x_7 = \frac{51 + 6x_3}{3}$

Rozwiązanie

$2x_3 + x_7 = \frac{51 + 6x_3}{3}$     prawa strona: wykonujemy dzielenie

$2x_3 + x_7 = 17 + 2x_3$     /$-2x_3$

$x_7 = 17$

Pierwiastkiem równania jest każda siódemka liczb postaci (p₁, p₂, p₃, p₄, p₅, p₆, 17), gdzie p₁, p₂, p₃, p₄, p₅, p₆ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, np. pierwiastkami tego równania są siódemki (0, 0, 0, 0, 0, 0, 17), (1, 0, 0, 0, 0, 0, 17), (0, -5, 0, 0, 0, 0, 17), (0, 0, 33, 0, 1/2, 0, 17), i inne. Rozwiązaniem równania są wszystkie takie siódemki, czyli zbiór {(p₁, p₂, p₃, p₄, p₅, p₆, 17) : p₁, p₂, p₃, p₄, p₅, p₆$\in$R}. Tworzą one przestrzeń sześciowymiarową w przestrzeni siedmiowymiarowej ortogonalną ("prostopadłą") do osi OX₇, przechodzącą przez punkt o współrzędnych (0, 0, 0, 0, 0, 0, 17).

4) Rozwiąż równanie z dziesięcioma niewiadomymi

$-3x_1+2(x_2+x_3+...+x_{10})+12=\frac{3x_{10}-2x_1}{6}$

Rozwiązanie

$-3x_1 + 2(x_2 + x_3 + ... + x_{10}) + 12 = \frac{3x_{10} - 2x_1}{6}$ prawa strona: wykonujemy dzielenie

$-3x_1 + 2(x_2 + x_3 + ... + x_{10}) + 12 = 2x_{10} - 3x_1$     /$-(2x_{10} + 2x_9 - 3x_1)$

$2(x_2 + x_3 + ... + x_8) + 12 = -2x_9$     /:(-2)

$(-1)(x_2 + x_3 + ... + x_8) + 12 = x_9$     lewa strona: wykonujemy mnożenie

$-x_2-x_3-...-x_8+12=x_9$

Pierwiastkiem równania jest każda dziesiątka liczb postaci (p₁, p₂, ..., p₈, $-p_2-p_3-...-p_8+12$, p₉), gdzie p₁, p₂, ..., p₉ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, np. pierwiastkami tego równania są dziesiątki (0, 0, ..., 0, 12, 0), (1, 1, ..., 1, 5, 1), (-123, 0, 12, $-\frac{1}{2}$, -18, 2, 3, 9, $-7\frac{1}{2}$, $\pi$) i inne. Rozwiązaniem równania są wszystkie takie dziesiątki, czyli zbiór
{(p₁, p₂, ..., p₈, $-p_2-p_3-...-p_8+12$, p₉) : p₁, p₂, ..., p₉$\in$R}. Tworzą one dziewięciowymiarową przestrzeń w przestrzeni dziesięciowymiarowej, która nie ma punktów wspólnych z osiami OX₁ i OX₁₀.

5) Rozwiąż równanie z siedemnastoma niewiadomymi

$x_1+2x_2+...+17x_{17}=x_{17}+(x_{17}+x_{16})+...+(x_{17}+x_{16}+...+x_1)$

Rozwiązanie

Równanie to jest równoważne równaniu stopnia zero z siedemnstoma niewiadomymi 0 = 0. Jest to równanie tożsamościowe, którego pierwiastkiem jest każda siedemnastka (p₁, p₂, ..., p₁₇) liczb rzeczywistych, a rozwiązaniem jest zbiór wszystkich takich siedemnastek, czyli R¹⁷ = {(p₁, p₂, ..., p₁₇) : p₁, p₂, ..., p₁₇$\in$ R}. Siedemnastki te tworzą całą przestrzeń siedemnastowymiarową.

6) Rozwiąż równanie ze stoma niewiadomymi

$1-x_{100}+x_{79}=-(x_{100}- x_{79})$

Rozwiązanie

Równanie to jest równoważne równaniu stopnia zero ze stoma niewiadomymi 1 = 0. Jest to równanie sprzeczne, które nie ma pierwiastków, a jego rozwiązaniem jest zbiór pusty $\emptyset$.