Przed maturą (1)

autor: Jarosław Wróblewski
pracownik IM UWr

1) Czy istnieje taka liczba całkowita n, że

1a) reszta z dzielenia liczby n² przez 4 jest równa 3?

1b) reszta z dzielenia liczby n² przez 8 jest równa 5?

1c) suma cyfr liczby n² jest równa 21?

1d) suma cyfr liczby n² jest równa 36?

2) Czy podane równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste?

2a) x ² + 127x - 11 = 0

2b) x ⁶ + 5x ³ + 5 = 0

2c) x ⁵ + 2x ⁴ + 3x ³ + 4x ² + 5x + 6 = 0

2d) x ⁶ + 5x ² + 5 = 0

3) Czy funkcja f określona podanym wzorem spełnia warunek f(f(x)) = x dla każdej liczby rzeczywistej x?

3a) $f(x)= 17 - x$

3b) $f(x)=\sqrt{x^2+1}$

3c) $f(x)=-{3\over4}|x|-{5\over4}x$

3d) $f(x)={3\over4}|x|-{5\over4}x$

4) Czy wewnątrz kwadratu o boku 6 można umieścić prostokąt (wierzchołki prostokąta mogą leżeć na obwodzie kwadratu) o bokach

4a) 1 i 7?

4b) 0,5 i 9?

4c) 3 i 8?

4d) 1,4 i 6,1?

5) Czy w podanym zbiorze istnieją dowolnie duże liczby?

5a) zbiór liczb pierwszych

5b) zbiór liczb postaci log ₂ n, gdzie n przebiega liczby całkowite większe od 1

5c) zbiór liczb postaci log _n 2, gdzie n przebiega liczby całkowite większe od 1

5d) zbiór liczb całkowitych dodatnich mających sumę cyfr równą 37

6) Czy prawdziwa jest równość

6a) log ₂ 3 = log ₄ 9?

6b) log ₆ 2 + log ₆ 3 = 1?

6c) 3 log ₅ 7 = log ₅ 21?

6d) log ₄ 8 = log ₉ 27?

7) Czy dla dowolnej liczby całkowitej n > 3 podana liczba jest podzielna przez 6?

7a) n ³ - n

7b) n ² + n

7c) n!

7d) n ³ + n

8) Czy nierówność $5x\le x^2+6$ jest prawdziwa dla

8a) $x=2\sqrt2$?

8b) $x=\log_38$?

8c) $x=\sin37^\circ$?

8d) $x=\pi$?

9) Czy sfera o środku (0,0,0) i promieniu 1 jest styczna do sfery

9a) o środku (2,2,1) i promieniu 2?

9b) o środku (2,2,1) i promieniu 4?

9c) o środku (1,1,1) i promieniu 2?

9d) o środku (1,2,2) i promieniu 4?

10) W dowolnym k-wyrazowym ciągu arytmetycznym o wyrazach całkowitych i różnicy niepodzielnej przez k, co najmniej jeden wyraz jest podzielny przez k. Czy powyższe zdanie jest prawdziwe dla

10a) k = 3?

10b) k = 4?

10c) k = 5?

10d) k = 6?

11) Promień okręgu opisanego na trójkącie ABC jest równy 1. Czy możemy wywnioskować, że bok AB ma długość 1, jeśli wiemy, że kąt przy wierzchołku C ma miarę

11a) 30^o?

11b) 60^o?

11c) 90^o?

11d) 150^o?

12) Czy podana liczba jest podzielna przez 5?

12a) $16\choose 8$

12b) $12\choose 6$

12c) $20\choose 10$

12d) $32\choose 16$

13) Dane są takie liczby rzeczywiste a, b, c, d, że liczby
a+b, b+c, c+d są wymierne. Czy stąd wynika, że wymierna jest liczba

13a) a?

13b) a + d?

13c) a + c?

13d) b - d?

14) Czy okrąg o równaniu x ² + y ² = x + y

14a) ma promień większy od 1?

14b) ma promień będący liczbą wymierną?

14c) ma środek w punkcie o obu współrzędnych całkowitych?

14d) jest styczny do prostej o równaniu y = x + 1?

15) Czy funkcja f określona podanym wzorem jest różnowartościowa na zbiorze liczb rzeczywistych?

15a) f (x) = 2|x - 1| + x

15b) f (x) = |x - 1| + 2x

15c) f (x) = |x - 1| + x

15d) f (x) = |x - 1| + |x|

16) Czy wielomian x ¹⁵ - x ³ jest podzielny przez wielomian

16a) x ² - 1?

16b) x ² + 1?

16c) x ³ - 1?

16d) x ³ + 1?

17) Czy dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich x, y zachodzi nierówność

17a) $x^2+y^2\le2xy$?

17b) $x^2+y^2\le10xy$?

17c) $x+y\le10xy$?

17d) $x+y^2\le2xy$?

18) Czy podana liczba jest różnicą kwadratów dwóch liczb całkowitych dodatnich?

18a) 1000

18b) 1001

18c) 1002

18d) 1003

19) Czy istnieją takie liczby całkowite m i n większe od 100, że prawdziwa jest równość

19a) 2 ⁿ = 3 ^m?

19b) m ^m = n ²?

19c) m ² = n ³?

19d) 2 ⁿ = m ²?

20) Czy liczba przekątnych nie będących przekątnymi ścian jest równa

20a) 8 w sześcianie?

20b) 3 w ośmiościanie foremnym?

20c) 5 w ostrosłupie prawidłowym o podstawie pięciokątnej?

20d) 18 w graniastosłupie prawidłowym o podstawie sześciokątnej?

21) Czy istnieje rosnący ciąg geometryczny 20-wyrazowy, w którym licba wyrazów wymiernych jest równa

21a) 6?

21b) 7?

21c) 9?

21d) 12?

22) Czy dla dowolnej liczby rzeczywistej x takiej, że $0 < x < 1$ zachodzi nierówność

22a) $\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x} > 2$?

22b) $\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{1+x} > 2$?

22c) $(1-x)\sqrt{1-x}+(1+x)\sqrt{1+x} > 2$?

22d) $\sqrt{1-x} \sqrt[3]{1-x} + \sqrt{1+x} \sqrt[3]{1+x} > 2$?

23) Niech A = sin²15^o - sin⁴ 15^o, B = cos²15^o - cos⁴ 15^o, C = sin²15^o cos² 15^o. Czy wtedy

23a) A > B?

23b) A > C?

23c) B $\ge$ C?

23d) 2B $\ge$ A + C?

24) Czy zbiór {1,2,3,...,n} można podzielić na dwa rozłączne podzbiory o równych sumach elementów, jeżeli

24a) n = 100?

24b) n = 101?

24c) n = 102?

24d) n = 103?

25) Liczby p i 2p + 1 są pierwsze. Czy stąd wynika, że złożona jest liczba

25a) 4p + 1?

25b) 7p + 4?

25c) 3p + 1?

25d) 7p + 1?

26) Dane są dwa pudełka. W pierwszym pudełku znajdują się dwie kule: jedna biała i jedna czarna. W drugim pudełku jest jedna kula biała i dwie kule czarne. Z losowo wybranego pudełka wylosowano kolejno (bez zwracania) dwie kule. Okazało się, że pierwsza wylosowana kula jest czarna. Jeżeli p oznacza prawdopodobieństwo, że także druga wylosowana kula jest czarna, to

26a) 0,2 < p < 0,5

26b) 0,3 < p < 0,8

26c) 6p jest liczbą całkowitą

26d) 4p jest liczbą całkowitą

27) W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości a i b. Niech r oznacza promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. Czy

27a) dla a = 3 i b = 4 zachodzi równość r = 1?

27b) dla a = 4 i b = 7 zachodzi równość r = 1?

27c) dla a = 6 i b = 10 zachodzi równość r = 2?

27d) dla a = 5 i b = 12 zachodzi równość r = 2?

28) Podzbiór P zbioru liczb całkowitych dodatnich ma następujące własności:
        1 $\in$ P,
        dla dowolnego n $\in$ P zachodzi 2n+1 $\in$ P,
        dla dowolnego n $\in$ P \ {1,2,3} zachodzi n-3 $\in$ P.
Czy z powyższych warunków wynika, że

28a) 101 $\in$ P?

28b) 102 $\in$ P?

28c) 103 $\in$ P?

28d) 104 $\in$ P?

29) Liczby rzeczywiste x i y spełniają nierówność $x^2\le y\le x+2\;.$ Czy stąd wynika, że

29a) $y\le4$?

29b) $x\ge-2$?

29c) $x+y\le5$?

29d) $y\ge x$?

30) Komisja d/ś Równego Statusu Kobiet i Mężczyzn przeprowadziła kontrolę w pewnym przedsiębiorstwie. Ustalono, że średnia miesięczna płaca w przedsiębiorstwie wynosi:
    dla wszystkich zatrudnionych pracowników: 1500 zł,
    dla pracowników zatrudnionych na stanowiskach kierowniczych: 2200 zł,
    dla pracowników zatrudnionych na stanowiskach niekierowniczych: 1150 zł,
    dla mężczyzn zatrudnionych na stanowiskach kierowniczych: 2400 zł,
    dla mężczyzn zatrudnionych na stanowiskach niekierowniczych: 1200 zł,
    dla kobiet zatrudnionych na stanowiskach kierowniczych: 2000 zł,
    dla kobiet zatrudnionych na stanowiskach niekierowniczych: 1000 zł.
Czy na tej podstawie Komisja może postawić zarzut, że

30a) średnia płaca wszystkich mężczyzn zatrudnionych w przedsiębiorstwie jest większa niż średnia płaca wszystkich kobiet zatrudnionych w przedsiębiorstwie?

30b) liczba mężczyzn zatrudnionych na stanowiskach kierowniczych jest większa niż liczba kobiet zatrudnionych na stanowiskach kierowniczych?

30c) odsetek mężczyzn zatrudnionych na stanowiskach kierowniczych (w stosunku do wszystkich zatrudnionych mężczyzn) jest większy niż odsetek kobiet zatrudnionych na stanowiskach kierowniczych (w stosunku do wszystkich zatrudnionych kobiet)?

30d) liczba mężczyzn zatrudnionych w przedsiębiorstwie jest większa od liczby zatrudnionych kobiet?